( io56 ) 

 théorème général sur le contact de deux surfaces en un point, j'ajoute : 



« Parmi les nombreux corollaires que l'on peut déduire de ce théorème général, en y 

 joignant quelques autres considérations, je me bornerai à citer les suivants : 



» Si autour d'une tangente quelconque menée à une surface, en un point A, on fait tour- 

 ner un plan, et que clans chacune de ses positions on construise la conique qui a en k avec la 

 surface un contact du quatrième ordre, il existera en général deux positions du plan sécant 

 pour lesquelles le contact montera au cinquième ordre. L'ensemble de toutes ces coniques 

 forme d'ailleurs une surface du deuxième ordre, en général simplement osculatrice à la 

 proposée. 



» Par chaque point d'une surface continue il est, en général, possible de mener vingt-sept 

 coniques ayant avec la surface, en ce point, un contact du sixième ordre. 



» Dans le cas particulier où la surface donnée est du troisième degré, les positions sin- 

 gulières du plan sécant mené par une tangente quelconque pour lesquelles le contact avec 

 une conique peut monter au cinquième ordre sont celles qui contiennent les asymptotes de 

 l'indicatrice relative au point où la tangente considérée perce de nouveau la surface. On 

 peut ajouter que le plan tangent en ce dernier point contient la courbe d'intersection de la 

 surface osculatrice formée par toutes ces coniques avec la polaire du deuxième degré du 

 point A par rapport à la surface du troisième ordre donnée, 



» Ces derniers énoncés ont besoin de quelques modifications pour s'étendre aux surfaces 

 algébriques de degré quelconque, mais ce n'est pas le lieu d'insister sur ce point. » 



» On reconnaît iimuédiatement dans le premier énoncé, et sous une 

 forme plus complète, la proposition qui sert de point de départ à M. Dar- 

 boiix, et l'on contesterait difficilement que les corollaires ne s'en dédui- 

 sent d'une manière bien naturelle. 



» En adressant à l'Académie cette revendication, je reconnais avec em- 

 pressement que le travail sur lequel je l'appuie est déjà de date un peu 

 ancienne, et il est tout naturel qu'il ait échappé à l'attention du savant 

 géomètre. Mon but est seulement de donner, à cette occasion, de courtes 

 indications sur une méthode géométrique dont les conséquences ne me pa- 

 raissent pas épuisées et qui permet de donner une forme concrète à des 

 résultats primitivement obtenus par l'Analyse algébrique. 



» J'emploie, pour étudier les éléments différentiels d'une surface algé- 

 brique (S) d'ordre m, en un point A, une surface dérivée (A), à savoir : le 

 lieu du point qu'on obtient en portant sur chaque transversale issue du point A 

 le rayon vecteur dont l'inverse est égal à In moyenne arithmétique des inverses 

 des rayons vecteurs limités à tous les points d'intersection restants^ sauf un seul, 

 de la transversale et de la surface (S). 



» Celte surface (A) est d'ordre am — 3; elle renferme comme droites 

 multiples d'ordre m — Z les deux osculatrices de (S) en A; le complé- 



