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 ment de son intersection avec le plan tangent est une cubique (F) située 

 sur la polaire du troisième ordre de A par rapport à (S); l'orientation des 

 plans tangents à (A) aux divers points de (T), la direction des droites oscu- 

 latricesà (A) en ces mêmes points, la position des droites qui snroscnlent (A) 

 en un point de (F) ne dépendent de même respecti%'ement que des polaires 

 du quatrième, du cinquième, du sixième ordre de A par rapport à (S). 



» La considération de cette surface dérivée condense ainsi l'étude des 

 éléments différentiels d'une surface en un point, sous une forme bien ap- 

 propriée à l'interprétation, et elle permet en même temps d'en opérer la 

 séparation, par ordre, dans la mesure voulue par la Géométrie, 



» Cela posé, on peut énoncer le théorème suivant : 



Toute conique (C) ayant avec une surface algébrique (S), d'ordre in, un contact 

 du second ordre au point A, est associée à une droite (D) située dans son plan, de 

 telle manière que, sur toute tr-ansversale menée dans ce plan par le point A, la 

 somme de l'inverse du rayon vecteur limité à (C) et de [m — 2) fois l'inverse de 

 celui qui est limité à (D), est égale à la somme des inverses des rayons vetteurs 

 limités à (S). Le contact de (C) et de (S) monte au troisième ordre quand In 

 droite (D) rencontre en un point I la courbe (F) {définie ci-dessus), au qua- 

 trième ordre lorsque (D) est tangente à (A) en I; au cinquième lorsque c'est une 

 des droites osculatrices à (A) en I; au sixième lorsqu'elle suioscule (A), et en 

 qérréral à [or-drx «4-3 lorsque (D) a en l un contact de l'ordre n avec (A). 



» Cette proposition, dont la démonstration est fort simple et purement 

 géométrique, ramène à la construction de la droite associée (D) la con- 

 struction de toute conique assujettie à avoir avec (S), en un point donné, 

 un contact d'ordre supérieur au premier; or la construction de cette 

 droite est donnée immédiatement par l'énoncé toutes les fois qu'aucune 

 condition supplémentaire n'est imposée à la conique, et, lorsque les condi- 

 tions supplémentaires consistent dans l'obligation de passer par des points 

 donnés, de rencontrer des lignes données, de toucher des lignes ou des sur- 

 faces données, il est évident qu'elles équivalent à imposer à la droi'e (D) de 

 passer par les points, de rencontrer les ligues, de toucher les ligues ou les 

 surfaces respectivement associées aux poinis, aux lignes, aux surfices don- 

 nées, comme (C) est associé à (D). 



» Eu particulier, si l'on veut que la conique soit un cercle, c'est-à-dire 

 rencontre en deux points l'ombilicale (Laguerre), la droite (D) doit ren- 

 contrer en deux points la biquadratiqiie à point double qui résulte de l'in- 

 tersection du cône isotrope de sommet A avec la surface du deuxième 

 ordre associée au plan de l'infini, laquelle, pour le dire en passant, est 



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