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 ou à l'unité, el l'on devra nécessairement avoir 



(f et y, désignant, dans le cas de p = o, des fondions' rationnelles et R{z) 

 une fonction uniforme; dans le cas de ;y = i, y et cp, représentent dos fonc- 

 tions doublement périodiques aux mêmes périodes, et R(s) une fonction 

 entière, c'est-à-dire une fonction uniforme n'ayant pas de pôles. Les fonc- 

 tions cp et ç), peuvent élre considérées comme données. 

 )) On déduit de suite des équations précédentes 



ç),(R) = '/(R)R"^ + o'(R)R", 



ou, en posant ( -—j = P, 



.(R)-2f(R)P + î)'(R)g, 



d'où, par un calcul tout élémentaire, 



» Nous sommes donc amené à rechercher dans quels cas une pareille 

 relation différentielle pourra être satisfaite par une fonction uniforme R 

 de 5. 



» Plaçons-nous d'abord dans rhypothèse/j = o; je commence par établir 

 que, si l'équation {oc) admet une intégrale uniforme, l'expression /ç),(p'^R 

 ne pourra contenir plus de deux termes logarithmiques : c'est une consé- 

 quence immédiate de cette proposition qu'il ne peut y avoir plus de deux 

 valeurs a et. b pour lesquelles les équations 'R{z) = a, R(-) = b n'aient 

 pas de racines, comme je l'ai montré dans mon Mémoire sur les fonctions 

 entières [Annales de l'Ecole Normale; 1880). 



» Si f (p , f' clR ne contient pas de logarithme, (-7-) est alors une fonc- 



tion rationnelle y (R), et il résulte de suite de l'étude faite par MM. Briot 

 et Bouquet, dans leur mémorable travail sur les équations de la forme 



F («, — j= o, quey(R) doit se réduire à un polynôme de degré au plus égal 



à quatre pour que l'équation (-77) =/(R) ait ses intégrales uniformes. On 

 aura donc à rechercher si l'on peut déterminer la constante entrant dans 



