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f^if'dR de manière que le quotient \ — se réduise k un polynôme de 



degré au plus égal à 4- 



» Si le luuiiérateur du second membre de l'équation («) contient un 

 seul terme logarithmique, cette équation aura la forme 



(fy=F(R)+y(R)log(R-«), 



F et / étant des fonctions rationnelles de R, ety(R) n'étant pas identi- 

 quement nul. Je montre que, dans ces conditions, le seul cas où une pa- 

 reille équation puisse avoir une intégrale uniforme est celui où 



F(R) = A(R- rï)-, /■(R) = B(R-rt)% 



A et B étant deux constantes. Appliquant ce résultat à l'équation (a), on 



voit que l'on devrait avoir -7^ = B(R — rt)'-, ce qui est impossible. Dond'é- 



quation (a) n'admettra pas alors d'intégrale uniforme, 



» Si enfin l'expression /ç),©'(fR contient deux termes logarithmiques, 

 l'équation (a) a la forme 



-j = r(R) 4-/.(R) log(R - a) +/,(R) log(R - b), 



F,/, et /o étant rationnelles, et ni/, n\f., n'étant nulles. J'établis que le 

 seul cas où une telle équation puisse avoir ses intégrales uniformes est 

 celui où l'on a 



F(R) = A(R -- ay-{R - b)\ J\ = -/, = B(R - «)=(R - by-, 



A etB étant des constantes. L'application à l'équation (a) montre que l'on 

 devrait avoir 



4.=A(R-«)^(R_èjS 



ce qui est inadmissible. 



» Nous arrivons donc à celte conclusion que l'équation (a) et par suite 

 l'équalion proposée ne pourront admettre d'intégrale uniforme que si 

 l'expression /y, ip'^R est rationnelle, et la discussion se termine alors aisé- 

 ment. 



» Passons au cas où p — i; 9 et (p, sont alors des fonctions doublement 

 périodiques de R. Une discussion fort simple montre que l'équation (a) ne 



pourra avoir d'intégrale uniforme que si le quotient •^''''''^/ se réduit à une 



