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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries de M . Lindstcdt. 

 Note de M. H. Poijïcaré. 



« Il est une équation qu'on rencontre souvent en Mécanique céleste et 

 qui a déjà fait l'objet de bien des recherches : c'est la suivante 



(i) ^+7l 2 p = [/.<?(p, X)\ 



n est un nombre incommensurable, <j. un paramétre très petit. Quanta 

 <p(p, x), c'est une somme de ternies de la forme suivante 



tp ( p, x) 2 A f cos ( '/. x -+- a) . 



»z est un entier, A, 1 et a sont des constantes quelconques. Nous pourrons 

 toujours poser 



■j( -,, •;• i 1-. \ - COS( Ix -f- k), 



d'où 



m = -T- • 

 dp 



» M. Liudstedta proposé, pour l'intégration de cette équation, des séries 

 qui ne sont pas convergentes au sens rigoureux du mot, mais qui peuvent 

 rendre de grands services dans la pratique, parce que les termes vont 

 d'abord en décroissant très rapidement et qu'en prenant un petit nombre 

 de ces termes on ne commet qu'une erreur assez faible, comme dans la 

 série de Stirling. 



» Je me propose de présenter la méthode de Lindstcdt à un point de 

 vue nouveau, en la rattachant aux principes des Vorlesungen ùber Dynamik 

 de Jacobi. 



» Nous pouvons remplacer l'équation (i ) par les suivantes ; 



do de , ibb cLc 



di- '• dï=- n ?- h r-dï> Tt= l - 



» En posant 



H = - -f--n a - 



2 2 



il vient 



rfp _ dR eh _ d\\ cLc _dll 



dt ' ' d<s ' 'di ~ ' do ' dl dp ' 



