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P, Q, R et S étant des polynômes, le dernier étant supposé irréductible. 

 Or la condition d'intégrabilité s'écrit alors 



u dS dS , D dS c fdP dQ âR\ 

 P r +Q-j--!-R T = S — + ^ v + -j- • 

 ax x oy à: \dx dy dzj 



» C'est cette même équation qui joue un rôle fondamental dans l'étude 

 des intégrales de différentielles totales relatives aux surfaces algébriques. 

 On en conclut que l'intégrale 



J f 



<)z 



est une intégrale de différentielle totale relative à la surface algébrique 



S(x,y, z , o. 



» Ceci posé, voici le résultat auquel on arrive : Les résidus de l'inté- 

 grale (i) sont les périodes de l'intégrale de différentielle totale (2 ). 

 En second lieu, nous considérons l'intégrale triple 



(3) fff 



Pdxdydz 

 ~Q~ 



I' et Q étant encore des polynômes en x, y, z; la définition de cette inté- 

 grale étendue à un continuum à trois dimensions se fait toujours d'après 

 les mêmes principes. Nous n'avons ici aucune condition d'intégrabilité, les 

 polynômes P et Q sont arbitraires; supposons le second irréductible. 

 Cherchons quels sont les résidus de cette intégrale, c'est-à-dire les diverses 

 valeurs qu'elle prend, quand on l'étend à un continuum fermé quelconque 

 à trois dimensions. Le résultat se rattache encore ici à la théorie des sur- 

 faces algébriques : Les résidus de l'intégrale (3) sont les périodes de l'inté- 

 grale double 



P dx dr 



U 



dQ 

 as 



cette intégrale double étant relative à la surface algébrique 



Q(x, y, z) = o. » 



