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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Formes principales sur les surfaces de Riemann. 

 Note de M. Félix Klein, présentée par M. Hermite. 



« J'ai montré, dans les Gôttingische Nackrichten du 5 novembre 1887 et 

 dans le Tome XXXII des Malhematischc Anna/en, que l'on peut construire 

 sur les surfaces de Riemann hyperclliptiques des expressions £2 (a.-, y ) qui 

 possèdent l'importance de formes principales, en ce sens qu'elles ont sur la 

 surface la seule racine x — y, cette racine étant simple, et qu'elles ne de- 

 viennent jamais infinies. J'ai aussi indiqué, dans le second des articles 

 cités (p. 363, en note), que l'on peut construire de telles formes princi- 

 pales sur la surface de Riemann la plus générale. C'est ce que je vais indi- 

 quer ici, en faisant d'abord quelques remarques sur l'expression des inté- 

 grales sur une surface générale de Riemann. 



» I . Soient w { , w>,, .'. . , w p , p intégrales linéairement indépendantes de 

 première espèce. 



» Nous posons dw t '. dw. x '....: dw p = <p, : <p 2 : . . . : cp^,, et nous introdui- 

 sons, pour l'expression analytique de la surface de Riemann, ces poly- 

 nômes <p 4 , <p 2 <p p comme coordonnées homogènes. Ceci est permis dans 



le cas général, car nous laissons de côté le cas hyperelliptique que nous 

 avons déjà traité. 



» 2. Considérons maintenant deux combinaisons linéaires des <p 



a, <p, -f-« 2 (p 2 -h...+ u p <?p= «?, c,(p, +. . .-(- v p ^p~- v 9 , 



qui doivent satisfaire à la seule condition de ne pas s'annuler simultané 

 ment en un point de la surface. Appelons v l'intégrale de première espèce, 

 dont la différentielle est proportionnelle à p ç , et soit v dw sa différentielle 

 On forme maintenant le quotient différentiel 



d(^) \dv w -- ''*"''* "'"''*■ 



Cette expression représente une fonction (algébrique ) uniforme sur la sur- 

 face de Riemann, qui a comme infinis triples les o.p - 1 points, où ^ s'an- 

 nule et reste fini en tout autre point. Nous en concluons que les 6/7— 6 points, 

 où VmU d a- UmVd<s s'annule, sont corësiduels aux points comptés trois fois où 

 1 o. Par suite, d'après un théorème de M. Nôther ( Mathematische Annalen, 



