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t. Wiï ), les 6p — 6 points qui précèdent sont les racines d'une fonction 

 homogène entière du troisième degré des <p. Celle-ci doit être, par rapport 

 aux u, v, une combinaison linéaire des sous-déterminants u t v h — u k v t ; dé- 

 signons-la par 



¥\<fi UV 1. 



» 3. Supposons maintenant qu'on ait calculé cette fonction §. Alors il 

 est d'abord très simple d'exprimer les intégrales de première espèce w a en 

 partant des <p. On formera, avant tout, l'expression différentielle 



- 1 —— r r '- — «ai, 



,7('f, UV | 



qui dépend seulement formellement, mais non réellement, des paramè- 

 tres u, v. L'intégrale w a prise entre les limites y et oc s' exprimera alors par 



,'V 



: / 'f a (lu>. 



• Y 



i i. Cherchons maintenant une expression analogue pour les intégrales 

 de seconde et de troisième espèce ; soit P^ une intégrale de troisième es- 

 pèce avec les limites x, y et les paramètres l, n. A la place de x écrivons 9, 



et l pour 9', et formons la dérivée seconde — — y-, ( où Do/ est la différen- 

 tielle correspondant à <p' ), que nous multiplions encore par (w<p(y — v^u 9 ',-. 

 Nous concluons du théorème de Nôlher que le produit ainsi défini est une 

 fonction homogène entière des <p, des 9' et des déterminants partiels uv, 

 du troisième en 9 et 9', du second par rapport aux uv. Nous désignons cette 

 fonction par 



W\ 9, 9', uv '. 



» Fail-on coïncider 9 et 9', alors W se transforme dans le carré de 

 § (9, uv); si l'on a uv^ — u^v 9 ~ o, sans que 9 et 9' coïncident, alors W de- 

 viendra nulle (doublement). «F est, par ces deux propriétés, définie autant 

 que se trouve définie notre intégrale de troisième espèce. 



» 5. Veut-on maintenant inversement, en partant des 9, obtenir les 

 intégrales de seconde et de troisième espèce; on prendra une forme arbi- 

 traire »F(<p,<p', uv) jouissant des propriétés indiquées. Une intégrale de se- 

 conde espèce entre les limites y et x avec l'infini 9' est alors donnée par la for 



