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deux théorèmes peuvent s'établir en employant le développement connu 



E*(x) = x 



1 



sin ■?. -uct. 



où E*(a?)= E(x), si x est positif et fractionnaire, et E*(x) = x — |, si x 

 est un entier quelconque; cette fonction s'étend aux valeurs négatives 

 de x par la formule E*( — x) = — - E*(x) — i . 



« Des considérations analogues conduisent à plusieurs formules dont 

 je vais signaler quelques-unes. Elles s'obtiennent à l'aide des développe- 

 ments 



R*(*)=-2(-.0 



sin 2v.nr 



^\ sin (4'' -+- ■2)xt 



sgnR*(.r) — 4 > — ^ -i- 



^ — i ( 2 V + I ) 17 



V ~ 1 V = 



v = o 



où R(.r) représente le reste qu'on obtient en retranchant de a- un entier le 

 plus approché, de sorte que — j<R(a?)<^, et où en général R*(.r ) = R(.r); 

 seulement on doit prendre R*(a?) = o, lorsque x = j + entier; le symbole 

 | R(.r)| représente la valeur absolue de R(r) et enfin la quantité sgnR*(.r) 

 équivaut à -t- i,o ou — i suivant que R*(#) est positif, nul ou négatif; en 

 d'autres termes, c'est le signe de R*(,r). 



» Les formules en question sont les suivantes, la première ne différant 

 pas au fond de celle de M. Stern, 



2e* 



2 s § nR * 



.-r -+- 



x -+ 



x + 



i( m - r ) O - ■+- K d ~ + rfE * 



r/R* ( -y- ), lorsque est impair. 



n.r 



nx — 



d 



n.r 

 7Î 



dE* [ -y ], lorsque -. est pair; 



o, lorsque -j est pair, 



rfsgnR*! . ji lorsque -.est impair; 



R ( X -h — 



/i 



/; 



orsque -, est pan 



1 il ' 



« 2 — (/- 



4" 





,;,';;: 



i lorsque est impair; 



