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 l'indice sommatoire « étant a, = o, i, 2, ..., /*— 1 et rf représentant le 

 plus grand commun diviseur des nombres m, n. 

 » 2. En employant l'équation connue 



V 



1)1 \ .-\n-i) 



n) 6 =U> J * 



-11' r- 



V«. 



dans laquelle l-\ est le symbole de Legendre généralisé par Jacobi, et le 



nombre positif impair n n'admet aucun diviseur carré. Les développements 

 que nous venons de considérer conduisent aux formules suivantes, dont 

 quelques cas particuliers ont été déjà signalés. 

 » I. n^i (mod4); (* = b, i, 2 n — 1). 



v = l 



2(:)w»*(- + ")=*(ï)*S 2®^ (^..3,5,.,.), 



v = l 



2(;)K* + ?)I =-=(t)V"I(;)^" C-..3.5,..,. 



» II. n = - 1 (mod4). 



» Dans ce cas, la première formule deviendra 



ZGM-'-tÏO-ïS»®-®^: 



v \ C0S2 v.rTt 



et les autres s'obtiennent en remplaçant, aux seconds membres, la fonc- 

 tion sin par cos et cos par — sin. De ces développements I et II on déduit 

 le théorème suivant : 



» Les sommes 



2 ( - ) 



ot m 

 n 



2(- 



R* [X -i 



2 



11 





y. m 

 u 



sont indépendantes du nombre m, pourvu qu'il soit premier avec n et que le 



C. R., 1889, i" Semestre. (T. CVIII, N" i.) 



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