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» Nous avons démontré antérieurement que cette condition est suffi- 

 sante; pour établir qu'elle est nécessaire, on met le système proposé, dont 

 on suppose toutes les solutions régulières, sous la forme 



-Sn 



où les a sont des coefficients constants et lest des nombres entiers positifs 

 ou négatifs, et l'on cherche à satisfaire à ces équations en remplaçant les y 

 par des valeurs de la forme 



y l =af(<f° i -+- ? ;.r + oj.r 2 + ...) *= œ r o t . 



» En égalant à zéro dans chaque équation le coefficient de la puissance 

 la plus faible de r, on a d'abord ri relations de la forme 



( 2 ) ((_ rî?+ a^; + .;. + ^ + ...^;)) = o. 



Tons les termes écrits n'entrent pas forcément dans ces équations: c'est 

 ce que nous indiquons par la double parenthèse. 



» On remarque ensuite que tous les a" écrits dans une même équation 

 ne sont pas nuls à la fois. 



» On peut, en outre, par des substitutions, répétées s'il le faut, de la 

 forme xy à la lettre y, faire en sorte que les valeurs <p? tirées des équations 

 précédentes soient toutes différentes de zéro, à moins que l'élément <p, 

 correspondant ne soit identiquement nul. 



» Cela posé, la condition de compatibilité des équations (2) sera une 

 équation en r du degré n ou du degré zéro, c'est-à-dire que si la lettre /• 

 entre dans l'une des équations (2), elle entrera dans toutes. 



» Si les équations (2) renferment la lettre r, le système (1) sera cano- 

 nique. Si les équations (2) ne renferment pas la lettre r, on pourra déter- 

 miner des nombres >,,, a.,, ..., a„, tels que 



>-,«", +-+A„a',= ! o, 

 et, en posant 



;=A,y,+...H- Vr». 



on verra que, en substituant z à l'un des y, le nouveau système différentiel 

 en ;, y,, ...,y/_ t , y i+{ , ■•■,y a offrira une équation en z, où les nombres s 

 ont diminué au moins d'une unité et n'ont pas augmenté dans les autres 



