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» On considère à cet effet la forme homogène en E, -t), £, Y(ii,v, s, ç,r,, '(, ), 



réciproque de la forme / des différentielles du, de, ds, et l'on prend une 



solution complète 



V(«, v, s, a, b) = o 



de l'équation aux dérivées partielles 



( 2 ) f( U ,M,^,^,i)^o; 



on pose b = f(a), fonction arbitraire de a, et Ton écrit les équations 



(3) V = o, -^- = 0, 7^ = 0; 



on en tire u, c, 5 en fonction du paramètre a, de la fonction arbitraire 

 /(a) et de ses dérivées/' (a), /"(a). 



» Ces expressions de u, v, s sont les plus générales qui vérifient l'équa- 

 tion (i). 



» Il y a toutefois exception pour les caractéristiques de (2); pour ces 

 solutions, les formules (3) tombent en défaut; mais on a alors les équa- 

 tions suivantes 



(4) V = o, _+,_ = , 



où a, b, c restent constants pour chacune de ces solutions singulières. 



» 2. Cette méthode va nous permettre de traiter le problème suivant, 

 qui est une généralisation du problème d'Euler sur l'équation 



ds 2 = dx 2 -h dy- ; 

 ce problème s'énonce ainsi : 



» On donne une sur/ace dont le ds 2 s'exprime par la formule 



(5) ds 2 = Edu 2 -h ïYdudv + G dv 2 ; 



trouver pour u, v, s des expressions en Jonction d'un paramètre, de façon à 

 vérifier de la manière la plus générale l'équation (5). 



ordinaires pour lesquelles les conditions d'intégrabilité ne sont pas satisfaites sont 

 susceptibles d'une véritable intégration (Mém. de l'Acad. des Se, 1784.) — S. Lie, 

 Ueber Complexe {Math. Annalen, t. V.). — Darboix, Mémoire sur les solutions 

 singulières (Savants étrangers, t. XXVII. p. 29 et pass im) . 



