( 2-Ï5 ) 

 » L'équation aux dérivées partielles du groupe n'est autre ici que 



EG-F* -a^i; — i, 



où a, b, c restent constants pour une même géodésique. 



» On tombe donc sur l'équation aux dérivées partielles dont Gauss fait 

 dépendre le problème des géodésiques. Soit U(w, v, à) une solution com- 

 plète de (6); on aura, pour équation intégrale complète V = o, 



(7) V — — s + b + U(u, c, a) = 0, 



où b est une seconde constante. Le système des équations (3) s'obtiendra 

 donc en posant b =/(a), et adjoignant à (7) les équations 



(8) f a +/'(«) = 0, ^ +/"(«) = 0. 



v Des équations (8), on tirera u, v en fonction de a, et en portant 

 ces valeurs dans (7), on aura s en fonction de a. Telle sera la solution 

 générale du problème d'Euler étendu à une surface quelconque. 



» Il y a cependant exception pour les géodésiques, car ces lignes cor- 

 respondent justement aux caractéristiques de l'équation aux dérivées par- 

 tielles. Les formules (7) et (8) ne peuvent donc pas donner ces lignes» ' 1; 

 mais pour elles on a les formules (4), qui deviennent ici 



» = i+ U («, v , a), -5 — hc = n. 



» En somme, on le voit, le problème d'Euler est subordonné à la déter- 

 mination de la fonction U, ce qui permet d'énoncer cette proposition : 



» La solution du problème d'Euler et la détermination des géodésiques sont 

 deux questions identiques. 



» Dès que l'on connaîtra ces lignes, sans intégration ni quadrature, les 

 formules (7) et (8) ne contiendront non plus aucun de ces symboles : tel 

 sera le cas des surfaces à courbure constante par exemple. 



» Dans le cas du plan, cette méthode coïncide avec celle que M. Darboux 



(') Les formules d'Euler ne donnent pas les droites du plan, bien qu'elles puissent 

 donner toutes les courbes du plan. 



