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coefficients respectifs de a, b, c, a , b', c' dans le développement de ce dé- 

 terminant; ainsi 



A = b'c"-c'b', B = c'a" — dc", 



Cela posé, un calcul facile montre que les équations du mouvement (i) 

 prennent la forme 



W <tt\ f-v dt\ — " 



où l'on désigne par X, et Y, les expressions 



(5) 



X, = k 2 (a"x + b"y + c") 2 1 C'(xY-yX) -+- B'X - A' Y |, 

 Y, = lc 2 (a"x + b"y + c" )- [- C (xY-yX) - BX + ÀY ] 



qui, à l'aide des formules (2) définissant la transformation, peuvent être 

 exprimées en fonction de x, et y { . D'après les équations (4), le point (x, ,y,) 

 se meut dans le temps t, comme un point de masse 1 sollicité par une 

 force F, dont les projections X, et Y, dépendent seulement des coordon- 

 nées x { ety, du point. Donc, toutes les/ois que l'on saura trouver le mouve- 

 ment d'un point (x, y) sous l'action d'une force F dépendant seulement de la 

 position du mobile, on en déduira par la transformation précédente le mouve- 

 ment d'un autre point (x, , y, ) sollicité par une force F, dépendant seulement 

 de la position du mobile; la trajectoire du second point sera la transformée 

 homographique de la trajectoire du premier. Lorsque la force F est centrale, 

 la force F, l'est aussi et réciproquement. Dans ce dernier cas, on retrouve, 

 en particularisant certaines des constantes a, b, c, a', b', c', a", b", c", deux 

 transformations que M. Halphen a indiquées ('), pour conclure des lois 

 de force bien connues (attraction proportionnelle à la distance ou inver- 

 sement proportionnelle au carré de la distance), les lois de force signalées 

 par MM. Darboux et Halphen ( 2 ) comme étant les plus générales qui font 

 décrire à leur point d'application une conique, quelles que soient les con- 

 ditions initiales. 



» 2. Le succès de la transformation homographique que nous venons 

 d'effectuer conduit à essayer, comme en Géométrie, des transformations 



(') Bulletin de la Société Philomathique, 7 e série, t. I, p. 89. 

 ( 2 ) Comptes rendus, t. LXXXIV. 



