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» J'ai à m'appuyer tout d'abord sur les recherches connues (') de 

 MM. Weber et Nother, dans lesquelles les quotients des fonctions 

 appartenant à la surface de Riemann sont exprimés sous une forme, 

 algébrique particulièrement symétrique. Supposons que la surface de 

 Riemann soit, comme dans ma Note précédente, analytiquement donnée 

 par les rapports des fonctions <p,, <p 2 , ■ . . , <? p correspondantes; <J>', <ï>", . . . 

 représentent des fonctions homogènes du troisième degré des ©. On a 

 alors à établir qu'à chaque fonction 6 correspond un système déterminé, 

 (zp — 2) fois infini, de telles fonctions $; celles-ci n'ont que des racines 

 doubles sur la surface de Riemann. Un tel système se met sous la forme 

 irrationnelle 



(0 



(?.' \J <!>' + y." y $" 



w-»y$(»j> 



où les a désignent des paramètres arbitraires constants. Soient main- 

 tenant 



1, 2, .... (2/7-2) 



2/7 — 2 positions quelconques sur la surface de Riemann; désignons par 

 $1,$", ••• les valeurs que .prennent les <î> en ces points, et par w K , w 2 , .... w p 

 les sommes d'intégrales de première espèce : 



(a) 



w 



w. 



, = I dw K -h / dw, + ...+ / dw, , 



= / dw 2 + / dw 2 



^p-ï 



f dw 2 , 



les limites inférieures de ces intégrales correspondant à des positions où 

 une combinaison linéaire de 9 s'annule. Les géomètres nommés plus 

 haut considèrent alors le déterminant suivant: 



D 



€ ... 



\ H iap-2) 



V*; 2 "--' 



(') Weber, dans sa Théorie des fonctions abéliennes de genre 3 ^ Berlin, 1876): 

 Aokther, Math, innalen, l. XXVIII. 



