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géodésiques de l'une soient représentées par celles de l'autre, à moins que 

 la distance des points infiniment voisins sur la première soit donnée par 

 la formule 



(i) ds- = (U- Y)(dtr^-dv 2 ), 



et, sur la seconde, par celle-ci 



( 2 ) ds < = {i-v)[!T + -T)> 



U, V sont des fonctions arbitraires de «, v respectivement, et l'on n'a 

 point égard aux transformations par similitude, qui multiplient ds ou ds t 

 par une constante, laissant par suite inaltérée l'équation des lignes géodé- 

 siques. 



» Les surfaces (i) et (2) forment ainsi des classes associées, remplissant, 

 lorsqu'elles sont distinctes, toutes les conditions indiquées; mais elles 

 peuvent n'être pas distinctes, et les classes équivalentes à leurs associées 

 constituent une exception étendue, facile à caractériser. Soient, en effet, 



/ytt\ vnrs 7 du f'(U)dU , F'(V)rfV 



u = /( U), v = F(V), du, = —== L — . di>, = — ^ — ; 



l'expression de ds\, qui est 



devient, après permutation des variables, 



W vL v u J 



et se réduit à celle de ds 2 , pourvu qu'on ait 



c'est-à-dire que les fonctions 



V'F'OO, -UV'(U) 

 se changent l'une dans l'autre par la substitution (V, -j- En posant 



U* --- p, V = g, il en résulte ceci : Les classes de surfaces associées à elles- 



