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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une question du Calcul des probabilités. 

 Lettre de M. E. Mayeu à M. Bertrand. 



« Après avoir lu votre Livre Sur les Probabilités, j'ai l'honneur de vous 

 soumettre une solution de votre problème LVII, qui me paraît plus simple 

 que celle de M. Rouché. 



» Pierre et Paul jouent à chances égales : l'enjeu est l'unité; ils ont une 

 fortune ri; je cherche la probabilité pour que Pierre ruine Paul à la 

 ,jirme partie. 



» Désignons par F( t a) le nombre des combinaisons de ;j. parties qui font 

 qu'à la a' eme Pierre gagne, pour la première fois, n parties de plus que 

 Paul, sans avoir jamais été en perte de n. La probabilité cherchée est 



F (à) 



» Reportons-nous au problème L, où Pierre et Paul jouaient avec des 

 probabilités inégales p et q, les enjeux étant toujours égaux à l'unité, et la 

 fortune des deux joueurs égale à n. La chance que Pierre avait de ruiner 

 son adversaire était 



a étant la racine autre que l'unité de l'équation pi 2 -ï + y-o, qui 

 donne 



P P 



Or la chance que Pierre a de ruiner Paul au bout de y. parties dans ces 

 dernières conditions est 



p~^ X <? V F( r .) =p"(pqy^¥(^). 

 Donc 



= 5yo>?) s *> 



ou 



\p) " 



