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» La nouvelle équation étant de même forme que la première, on est 

 conduit à la proposition générale suivante : 



» Si l'on considère toutes les trajectoires correspondant à la fonction des 

 forces U(.v, y) et à la valeur h de la const mie des forces vives, et qu'on sou- 

 mette, ces courbes à la transformation isogonale (2), les nouvelles courbes seront 

 les trajectoires correspondant à une nouvelle fonction des forces 



!U| ? (X,V).:(X.Y,| <-*|[(|j)V:(^y], 



et à la valeur zéro de la constante des forces vives. 

 » Supposons, par exemple, qu'on ait 



U = -. * + p, A = o, 



\ ■'■' '-' 



x et [3 étant deux constantes quelconques, et qu'on effectue la transforma- 

 lion isogonale x == K 2 — Y 2 , y = 2 \ Y; la nouvelle valeur de U sera 



U = 4« + 4P( xâ H-£ i ).- 



On passe ainsi de ta loi d'attraction newtonienneà la loi de l'attraction pro- 

 portionnelle à la distance: on vérifie d'ailleurs immédiatement qu'une 

 conique avant un foyer à l'origine donne, par la transformation précédente, 

 une conique concentrique à l'origine. 



» La fonction des forces U restant la même ainsi que la transformation 

 isogonale (2), si l'on fait varier la constante des forces vives À, les courbes 

 transformées ne sont pas, en général, les trajectoires d'un mobile pour une 

 même fonction des forces. Il y a cependant un cas assez étendu où il en 

 sera ainsi. Supposons que U vérifie la relation 



à.c- l'- 



on, ce qui revient au même, soit de la forme U = f(x -f- iy) /<,(■*-' — iy), 

 / désignant la fonction conjuguée de/. Posons encore 



z = x — iy, Z n = X - ÎY, jf( z)dz = Z, j/ ( s ) dz u ±= Z , 



et supposons tpie des deux dernières relations on ait tiré 

 (5) s = «p(Z), s = <p (Z ). 



