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Remarque sur la Communication précédente ; par M. G. Darboux. 



« Considérons un point matériel assujetti à se mouvoir sur une surface 

 dont l'élément linéaire est défini par la formule 



( 1 ) ds- = Erf« 2 +aF du dv + G df . 



» S'il est soumis à des forces admettant un potentiel 



(2) U = F(«,«0, 

 on a l'intégrale des forces vives 



v 2 = 2 (U -h h) 



et, d'après le principe de la moindre action, la recherche des trajectoires du 

 mobile se ramène à celle des géodésiques d'une nouvelle surface dont 

 l'élément linéaire est déterminé parla formule 



ds' 1 = (U + A) (E du 2 + 2F du dv + G dv 2 ). 



» Si l'on remplace h par -> p et 7. désignant deux constantes, on pourra 



substituer à l'expression précédente de ds 1 la suivante 



ds- =(aU + p) (E du 2 + 2F du. dv + G dv 2 ), 



cpii est linéaire par rapporta x et à p. De là résulte la conséquence sui- 

 vante : 



» Si l'on sait résoudre le problème de Mécanique propose avec la surface 

 définie par la formule ( 1 ) et la fonction des forces (2), on saura le résoudre 

 aussi avec la sur/ace dont l'élément linéaire est donné par la formule 



(3) ds 2 = U(Ef/u 2 + 2F du dv + G dv 2 ). 

 la fonction des forces étant maintenant 



(4) u'=i 



" F(//, v) 



» Supposons, par exemple, que la surface primitive soit plane. On pourra 



prendre 



ds 2 = dx 2 -t- dv 2 , 



oc, y étant les coordonnées rectangulaires du mobile. 



