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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la résolvante de Galois dans la division 

 d( s périodes elliptiques par 7. Note de M. G. Halphen. 



« D'après un théorème énoncé dans la Lettre testamentaire de Galois 

 (t83'2), il existe, pour la transformation des fonctions elliptiques, des 

 résolvantes d'un degré égal à l'ordre de la transformation, quand cet 

 ordre est 5, 7 ou 1 1. Dans un Mémoire célèbre, publié aux Comptes rendus 

 de i858, M. Hermite a montré comment on peut obtenir de telles résol- 

 vantes et en a calculé une, du cinquième degré, source de mémorables 

 travaux, que je n'ai pas à rappeler ici. Peu après, en i85c), M. Hermite a 

 effectivement calculé une résolvante du septième degré, qu'il a fait con- 

 naître par une Lettre à M. Brioschi, publiée dans les Annali di Matematica 

 (p. Go). Plus récemment, en 1879, M. Félix Klein et M. Brioschi ont 

 obtenu cette même résolvante par des moyens très différents (Majhema- 

 tische Annalen, t. XIV, p. 4-7» et L XV, p. 247); enfin, M. Félix Klein a 

 donné deux résolvantes du onzième degré (ibid., t. XV, p. 547), c l in ' com " 

 plètent brillamment les recherches provoquées par le théorème de Galois. 



» A la partie de celte belle théorie qui concerne la transformation du 

 septième ordre, je voudrais apporter aujourd'hui un très modeste appoint, 

 en indiquant une nouvelle résolvante, d'une grande simplicité. La voici : 



x H -1 (ce — r) = ac. 



C'est à cette équation que l'on peut réduire le problème de la transfor- 

 mation du septième ordre ou le problème équivalent de la division des 

 périodes elliptiques par 7. La constante x est liée à l'invariant absolu 

 J = gl '. A par la simple relation 



2 V— 7 T 

 y. = — — —, — - J . 



r 



» Il me faut dire quelles sont les racines de cette résolvante. Soit 2ù une 

 période quelconque et soit posé 



ys/Â = (pfù - pi<3)(piû- p|ô)(p|û - pfô). 

 Cette quantité y est racine d'une équation du huitième degré, 



JJ 



70 y — 63 y* — \f\y- — 1 = 727' \J — t~ 



