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 sent sur un lemme qui se réfère aux nombres premiers impairs. Dans le 

 Monalsbericht de l'Académie de Berlin du 22 juin 1876, M. E. Schering et 

 M. Rronecker ont publié une extension de ce lemme à tous les nombres 

 impairs, qui peut être conçue comme il suit : 



» Soient n un nombre quelconque impair, Q un nombre premier relatif à 

 n\ que l'on prenne les résidus positifs les plus petits des nombres 



Q, 20, 30 K»-0Q 



par rapport au module n, dont les uns seront plus petits que rji, les autres 

 plus grands, le nombre des derniers étant égal à /•. Alors le symbole de 



Legendre, généralisé par Jacobi, ( - j, sera égal à la puissance (— i) r . 



» Dans ce théorème remarquable, il m'a paru singulièrement étonnant 

 que, bien que la détermination du nombre /• dépende seulement de divi- 

 sions, qui sont à exécuter par le nombre impair n, sans faire usage de sa 

 décomposition en facteurs premiers, néanmoins la connaissance de ce 



nombre r suffit pour déterminer la valeur du symbole ( - )> dont la défini- 

 tion suppose la décomposition de n en facteurs premiers. En essayant d'é- 

 claircir cette difficulté, je suis parvenu à une démonstration qui n'exige 

 aucun préparatif, hors ceux dont Gauss s'est servi à l'occasion de son 

 lemme original, et qui me semble appropriée au but indiqué. 



» Considérons d'abord le système des nombres qui sont positifs, pre- 

 miers relatifs à n, et plus petits que n, et désignons ceux qui sont plus 



petits que - para, les autres paré. En formant avec un nombre donné Q, 

 premier relatif à n, les congruences 



Qa = r (modrt), 



dénotons le nombre de cas où r est compris dans le groupe des résidus b 

 par 1(Q, n). Cela étant, si l'on multiplie lesdites congruences ensemble, 

 que l'on applique le raisonnement fait par Gauss dans l'endroit cité, et 

 si l'on désigne comme d'usage le nombre des nombres incongrus et pre- 

 miers par rapport à n par o(n), on est conduit à la détermination 



Q^- (-iV' "' (mod«). 

 » Or il faut distinguer deux cas, selon cpie n est une puissance d'un 



