( 4 9 3 ) 



GÉOMÉTRIE. — Sur un problème de la théorie des surfaces. Note 

 de M. L. Raffy, présentée par M. Darboux. 



« Trouver tous les éléments linéaires qui correspondent à des surfaces appli- 

 cables sur les surfaces de révolution et qui sont réductibles d'une infinité de 

 manières à la forme de Liouville 



[<p( x H- v) — f(x — y)] dx dy. 



» Le problème revient, comme on sait ( ' ), à trouver toutes les solutions 

 de l'équation indéterminée 



(,) F = 2 (X-Y)^+3(X'-Y')g+(X"-Y^ = o., 



où X, X', X" représentent une fonction de x et ses dérivées, Y, Y', Y" une 

 fonction dey et ses dérivées, >. une fonction de la seule quantité t—x -+- y. 

 » J'adjoins à cette équation la suivante 



<P F 

 ( 2 > -dJTyï=°< 



qui est également linéaire et homogène par rapport à X — Y, X — Y', 



» Si les équations (i) et (2) n'en font qu'une, 1 vérifie deux relations 

 concordantes, qui expriment que les surfaces d'élément linéaire \dxdy ont 

 leur courbure totale constante. 



» Si les équations (1) et (2) sont distinctes, elles peuvent ne pas con- 

 tenir X — Y; c'est ce qui a lieu quand a est du premier degré en /, 



(3) ~k — a(x -+- y)-+-b, 



et alors seulement. 



» Ce cas exclu, il suffit d'éliminer X"— Y" entre les équations (1) et (2) 



pour voir que le quotient (X'~ Y') : (X — Y) ne dépend que de x -\-y. De 



là on déduit que X et Y satisfont aux relations 



-£iii y'" 



Yr = y7 = const. =^ ^li 1 . 



(') Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, t. II. p. 208-209. 



