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 » Dans l'hypothèse h = o, X et Y ont pour valeurs 



X = ce + PO - a) 2 , Y = a + p(^ r 6) 2 , 



«, />, x, [3 étant quatre constantes arbitraires. L'équation (0 devient alors 



et donne, en désignant par P et Q deux constantes arbitraires, 



(4) *=(7^ + Q- 



» Quand la constante h est différente de zéro, X et Y sont de la forme 



X = y + y.r'"'-:- ';,e-- hx , Y = y + x, e 2/ " -\- £, e" 27 '-'', 



a, fl, y.,, fi,, y, A désignant six constantes arbitraires, sauf la condition 

 a, |3, = a]3. Avec ces valeurs de X et Y, l'équation (i) devient 



{e ht - e~ ht ) ^ + 3AJe te +<r*»')^ -h 2 A 2 («*'-'<?-*')* = o, 

 et donne, en désignant par P et Q deux constantes arbitraires. 



» Dans un cas particulier, où le quotient (X' — Y') : (X — Y) est con- 

 stant, on trouve 



(6) l = 'Pe ht -hQe i/ ", 



P, Q et h désignant encore des constantes arbitraires. 



» L'hypothèse Q = o, introduite dans les formules (4) et (5), fournit 

 l'élément linéaire des surfaces à courbure constante. 



» La solution complète de notre problème se compose donc des éléments 

 linéaires \ dx dy oui a l une des valeurs (3), (4), ( 5 ) fif ( 6) . 



» Ce travail était déjà fait quand j'ai eu connaissance d'une Leçon ré- 

 cente, dans laquelle M. Darboux déterminait tous les cas où l'équation des 

 lignes géodésiques admet à la fois une intégrale du premier et une intégrale 

 du second degré. La recherche de ces cas et celle des solutions de l'équa- 

 tion (i) sont deux problèmes équivalents. Je me suis assuré que mes ré- 

 sultais s'accordent avec ceux de M. Darboux. » 



