( 4 9 5 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le caractère auquel se reconnaît l'équation 

 différentielle d'un système géodésique. Note de M. R. Liouvili.e, présentée 

 par M. Darboux. 



« Si l'on représente para,, a,, . . ., a. s des fonctions arbitraires de x et 

 y, parmi les équations de cette espèce 



(0 



y' a, v' 3 -!- 3a., v''-i- 3a : ,y + a, = o, 



se trouvent celles des lignes géodésiques tracées sur une surface quel- 

 conque; elles constituent un groupe distinct, qui peut être défini comme 

 il suit : 



» Entre trois inconnues, ■]/,, y., ty 9 , je considère les quatre équations 

 linéaires suivantes 



^ + 2(a s i, - a,<l.,) = o, 



O) 



y + 2 ^ - 2('a 3 'i 2 — ia.,'1, -f-a.,^ 3 ) = o, 



Mj 



g ■!-2^+ a (fl ï ^-2« ï ^-r.« 1 + I ) = 0. 



gî + 2 (a |t |, 2 -« 2 J, 3 ) = o; 



pour que l'équation (i) appartienne à des lignes géodésiques, il faut et il 

 suffit que le système (2) admette une solution. 

 » Avant pris alors 



Ma— .<!'«=?• 



l'élément de longueur sur les surfaces correspondantes à l'équation (1) 

 sera donné par la formule 



(3) 



C 



is» = -, (^ dx- 4- 2^ dx dy -+- i 3 dy 2 ), 



où la constante C est à volonté. 



» Des relations (2) se déduisent immédiatement deux équations linéaires, 

 renfermant une seule inconnue, avec ses dérivées partielles des trois pre- 

 miers ordres et, par des opérations simples, semblables à celles que j'ai 

 définies dans une Note précédente (Comptes rendus, 7 décembre i88j), il 



