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 en résulte des équations nouvelles, jusqu'à ce qu'un système complet soit 

 obtenu. 



» Quand les relations (2) admettent deux solutions, on sait que l'élé- 

 ment (3) est réductible à la forme 



\f(u)-F( V )](du 2 + dv*) 



ou bien à celle qui a été signalée par M. Lie. 



» Dans ce cas : 



» Si l'équation (1) seule est donnée, la recherche des fonctions | com- 

 porte l'étude d'une équation différentielle, du second ordre et linéaire, 

 où il n'y a qu'une variable indépendante; (<]/,, d/ 2 , i :1 ) et (W t , *F 2 , ^'3) 

 étant deux systèmes de solutions des équations (2), le rapport 



ù, dx*- -f- 2 ^ 2 dx dy -+- ty 3 dr- 



W t d.r- 4- 9. T, dx dy -h T, dy 



égalé à une constante, est une intégrale de l'équation (1) et il est clair que 

 l'intégration complète est ainsi terminée, sans qu'il ait été nécessaire de 

 fixer en aucune façon le choix des variables x et y. 



» Si l'une des solutions (<{/,, | 2 , ^ 3 ) est connue à l'avance, c'est-à-dire 

 si l'on sait sur quelles surfaces sont tracées les lignes géodésiques repré- 

 sentées par l'équation (1), tout se réduit évidemment à des quadratures. » 



GÉOMÉTRIE. — Recherches sur les surfaces qui sont, en même temps lieux de 

 coniques et enveloppes de cônes du second degré. Note de M. Blutei. . 

 présentée par M. Darboux. 



« Un cône du second degré, dépendant d'un paramètre variable, est 

 coupé par un cône infiniment voisin suivant une courbe du quatrième 

 ordre, présentant un point double en son sommet ; il touchera son enve- 

 loppe suivant de semblables courbes. Mais, si le cône roule en même 

 temps sur deux développables, il touchera son enveloppe véritable suivant 

 une conique. 



» La propriété réciproque est la suivante : si une conique se déforme 

 en restant tangente à deux courbes, les plans tangents à la surface engen- 

 drée, le long de chaque conique génératrice, enveloppent un cône de se- 

 cond degré. 



» Ces deux catégories de surfaces sont d'ailleurs les mêmes. Elles jouis- 



