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« Le rapprochement des formules (2), (7j) et ( V) donne l'expression 

 cherchée du numérateur d'une réduite quelconque, les numérateurs des 

 réduites correspondant aux deux premières périodes étant supposés 

 donnés par un calcul direct. 



» Pour les dénominateurs, le calcul est le même, avec le seul change- 

 ment de p en a. 



» Voici maintenant une remarquable expression de x A . On a 



Pnk+i l'I. .,11,, '.- (— l)''-'p,l'„^, 



q„k+i q/c+eu n -i- (— i)*- 1 ^,!*»-, 

 » Mais 



li m 



. "«— 1 J II = X 



p étant la racine, supérieure à l'unité, de l'équation 



(6) *•* — «*a5-f-(-i)* = o. 



» Donc, - étant la valeur de la fraction continue périodique considérée, 



„ ' Pk+i? -j j ! ' [p£ t 



1k+i? -+-'(— 0* _1 7i 



» Par suite, 



/'*," +(— ') /, ~'/'o _. /><+■? + (— '1 /l '~'/>i 

 9*P + « — ' W^9i> 1k+i? -+- {— i) k ~ l Çi 

 ou 



■+-(— [0>o?*+i —Pk+iÇ») ■+-. (/?*?, -/M*)]iP -+-(PoÇ< -p*Ço) = o, 

 ou encore, puisque p k q k+y — Pk+t'/k =■ * — ' >'• 



? 2 - (!/>* + 7,,-, ) ? + ( - r)* = o. 

 Et comme p satisfait à l'équation (6), on en déduit 



(7) y-/, = P/, ■-+- q*- 1 • 



» Les termes des île premières réduites étant supposés calculés direc- 

 tement, c'est cette dernière formule qui servira, au lieu de (2), à cal- 

 culer a A . » 



