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MÉCANIQUE. — Sur la théorie de la déformation infiniment petite d'un milieu. 

 Extrait d'une Lettre de M. Eue Bei.trami à M. Maurice Lévy. 



« l'avie, 2 mars 1889. 



» Je prends la liberté de vous communiquer quelques remarques que 

 j'ai eu l'occasion de faire, dans des recherches sur la déformation infini- 

 ment petite d'un milieu continu, et qui se rapportent à un point tout à fait 

 élémentaire de cette théorie. 



»... Soient, comme de coutume, u,v,w les trois composantes de déplace- 

 ment, au point (ce, y, - ) du milieu, et a, b, c, f, g, h les six composantes 

 de déformation, au même point, c'est-à-dire les six quantités définies par 

 les égalités 



iij. = a, c, = b, w z = c, 



ir, -+- v z = if, u x -f- w x = 2g, v x -+- u } = -ih, 



u x , u } , . .. étant les dérivées partielles de u, r, w par rapport aux coor- 

 données. Vous s:ivez que, si l'on considère ces six quantités comme des 

 fonctions données indépendamment des u, v, w, il faut et il suffit qu'elles 

 satisfassent à certaines six équations aux dérivées partielles du second ordre 

 pour qu'elles représentent les composantes d'une déformation possible, 

 c'est-à-dire pour qu'elles soient exprimables, d'après les égalités précé- 

 dentes, au moyen de trois fonctions arbitraires», e, w. Or, dans les re- 

 cherches dont je vous parlais, j'ai été amené à me demander s'il n'y aurait 

 peut-être pas avantage à déduire ces six équations de la variation d'une 

 seule intégrale triple, ainsi que cela se fait très utilement en plusieurs cas, 

 par exemple pour l'équation classique du potentiel. 



» Au lieu d'écrire ici tout de suite l'intégrale triple qui jouit de la pro- 

 priété en question, et qui peut d'ailleurs prendre une infinité de formes 

 différentes, je préfère vous présenter la chose d'une manière un peu indi- 

 recte, mais qui rend mieux compte du résultat auquel on arrive, surtout 

 si l'on rapproche ce résultat de la considération par laquelle j'ai démontré 

 ailleurs (Addition à mon Mémoire Sur l'interprétation mécanique des for- 

 mules de Maxwell) que les six équations dont il s'agit sont suffisantes. 



><• Posons 



-P = «V - P»f -1 = a -. ~ w x, ar = e* — u r , 



c'est-à-dire désignons par/?, q, r les composantes de ce que l'on est cou- 



