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venu d'appeler la rotation du milieu, au point (x, y, z). Ces Lrois équations 

 établissent entre ces composantes et les coordonnées des relations en 

 vertu desquelles on peut concevoir ces dernières comme des fonctions des 

 variables p, q, r; car iljn'y a pas, en général , d'équation finie entre ces trois 

 quantités, bien qu'il y en ait une (p x -\- q r + r z = o) entre leurs dérivées. 

 En nous plaçant à ce point de vue, désignons par S l'intégrale 



dont le champ limite est supposé arbitraire, mais fixe. Le déterminant A 



des équations 



dp — p x dx -h Pydy -t-/J- dz, 



dq = q x dx -I- q } dy -h q.dz, 



dr = r x dx -+- r } dy -+- r z dz 



n'étant pas généralement nul, on peut tirer de ces équations 



. I dx dy dz\ 



A \dj + dq + dr) = ?'* ~ 9* r > + r *P* ~ r *P> + Px ^ ~ P> g *' 



et l'intégrale S, transformée des variables p, q, r aux x, y, z, devient 

 ainsi 



S = '- fffil! r = ~ 7.-'\ *-r,p x — r x p. 4- p x qj - p 3 q x ) dx dy dz. 



Sous cette forme, on voit immédiatement que S n'est qu'en apparence une 

 intégrale triple; car on peut de suite la réduire, et de plusieurs manières 

 différentes, à une intégrale étendue à la surface limite : on peut, par 

 exemple, la ramener à la forme 



dp dx dq dy dr dz \ , , . . , 



Tu 17, -+" 7)7 ÏÏ7, + Â7 J7, V/> + ? +r dr " 



i r/dp dx 

 liJXdsdn 



ds dn <)s du 



où s est la direction de l'axe de rotation, dn l'élément de surface limite et 

 n la direction de la normale intérieure à cet élément. Mais il est tout 

 à fait inutile de tenir compte de cette réduction : ce qu'il importe de re- 

 marquer, c'est que, si l'on faisait varier les fonctions/?, y, r dans l'intégrale 

 triple, la partie indéfinie de la variation correspondante de S, je veux dire 

 celle qui serait représentée de même par une intégrale triple, se rédui- 

 rait identiquement à zéro. 



