( 558 ) 

 Le développement en série trigonométrique de l'expression précédente se 

 fait très aisément. Si l'on pose 



le coefficient \ p est donné par l'intégrale définie 



A = - / - e ,..., cos *P— dx, 

 qui se calcule facilement, et dont la valeur est égale à 





» 2. Peut-on, avec deux variables complexes .r et y, former une série 

 analogue àf(cc)? V'oici, pour répondre à cette question, l'expression sui- 

 vante, qui me paraît présenter quelque intérêt, 



m=+x n=-t-as 

 „_ ^_ ^ai.r+/nti))+ph-+-/i(o'l 0a'te , +WOJ-t-p'(y-+-fl<Û'| 



m = — =o n- 



où nous supposons w, to', a, a', (3 et [i' réels, et x[î' — a'[3 7^ o. 



» Cette expression est quadruplement périodique; on a, pour x et y, le 

 tableau suivant de périodes simultanées 



x 



v 



u o Gi H/, 

 o 0/ G'i H'i: 



les G et H sont définies par les équations 



a G -h S G'= 2- i ( a H + fi H'= o, 



et 

 a'G + |}'G'=o ) ( a'H + p'H'= 2*. 



» Il en résulte que les six quantités réelles <o, <•/, G, G', H, II' peuvent 

 être prises arbitrairement. Ceci montre que l'expression (i) ne peut être 

 une fonction analytique de x et y, se comportant pour tout système de va- 

 leurs finies de x et y comme une fonction rationnelle. ï! y a, en effet, pour 

 la série (i), des surfaces de singularités essentielles, correspondant d'une 



part à 



xx"-hpy"— (zh -+- i)«, 



