( Go8 ) 



les paires de périodes (a-i, o), (o, i-i) et se reproduisant multipliée par 

 le facteur a ou le facteur b quand on augmente x et y de la paire de pé- 

 riodes (a, y) ou ((3, <$). On obtient de cette façon des séries analogues à 

 celles que M. Hermite prend comme point de départ de la théorie des 

 fonctions doublement périodiques de deuxième espèce ('). En multipliant 

 notre série par une exponentielle dont l'exposant est une fonction linéaire 

 de x et y, on aura une expression quadruplement périodique de seconde 

 espèce avec quatre multiplicateurs arbitraires. 



» 3. Enfin, si l'on veut former de la même façon des expressions quadru- 

 pleraient périodiques de troisième espèce, c'est-à-dire des expressions se 

 reproduisant multipliées par une exponentielle de la forme 



„ax+by+c 



quand on augmente .r et y d'une paire de périodes, on obtient d'abord 

 une classe particulière de ces fonctions par le procédé suivant. Employons 

 les mêmes notations que ci-dessus, mais supposons 



alors, si la série 



iiui — i-x, 



7a e n m,n 



m , n = — « 



est convergente, elle définit une expression quadruplement périodique de 

 troisième espèce qui se comporte comme une fonction quand on ajoute 

 à x et y des paires de périodes : en multipliant cette série par une expo- 

 nentielle de la forme 



A.r'-l-2Bj-) + Ci : + i[i.r+J Ey 

 e ) 



on obtient une fonction un peu plus générale. 



« Le procédé que nous venons d'employer nous donne des expressions 

 quadruplement périodiques de troisième espèce particularisées par ce fait 

 que la seconde période de l'une des paires de périodes est égale à la pre- 

 mière de l'autre (fi = y). Il y a lieu do croire que, si une fonction uniforme 

 quadruplement périodique de troisième espèce ne change pas quand on 

 augmente x ou y de i-i, ses deux autres paires de périodes peuvent, par 

 des substitutions linéaires effectuées sur les deux variables x et y, être ra- 



(') Annales de l'Ecole Normale, 3 e série, t. II; septembre i885. 



