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menées à remplir cette condition particulière ((3 =y). C'est ce que nous 

 espérons pouvoir démontrer prochainement. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les caractères cubiques et biquadratiques. 



Note de M. A.-E. Pellet. 



« P étant un nombre premier, q un diviseur de P— i, soit/(.r) = o 

 l'équation aux q périodes des racines p iemes de l'unité. La congruence 

 y(ar) = o, suivant le module premier/?, a toutes ses racines réelles si p est 

 résidu d'une puissance q"' me suivant le module P. Cette congruence a des 

 racines imaginaires (mod //), si p n'est pas résidu d'une puissance q ieme 

 (mod P); dans ce cas, elle peut en outre avoir des racines réelles, mais 

 celles-ci sont toujours multiples. 



» On déduit de là les caractères suivants : 



» 1. P — i étant divisible par 3, soit 4P = l 2 + i-]n-. 



» Tout diviseur de / ou de n est résidu cubique suivant le module P. 



» Les nombres i, 3, 5, 7 ne sont pas résidus d'une puissance troisième 

 suivant le mod P, s'ils ne divisent pas l'un des nombres / ou n. Les nom- 

 bres 11 et i3 peuvent être résidus cubiques suivant le mod P, sans divi- 

 ser / ou n; mais alors on a 



/ 2 = 27« 2 = 2P (mod 11 oui 3). 



» 2. P — 1 étant divisible par 8, soit P = a- -4- 16e 2 . 



» Tout diviseur de b est résidu biquadratique (mod P). 



» Tout facteur premier de a de l'une des formes 8k±i est résidu 

 biquadratique (mod P); tout l'acteur premier de a de l'une des formes 

 8k ± 3 est non-résidu biquadratique suivant le mod P. 



» 3. P — 1 n'étant pas divisible par 8, mais étant divisible par 4» soit 

 V = a- + t[b-. 



» Tout facteur premier de b de la forme [\m + 1 est résidu biquadra- 

 tique (mod P); tout facteur premier de b de la forme t\m— \ est non-résidu 

 biquadratique (mod P). 



» Tout facteur premier de a de l'une des formes 8£-t-i, 8£-t-3 est 

 résidu biquadratique (mod P); tout facteur premier de a de l'une des 

 formes 8k ■+■ 5, 8k -h 7 est non-résidu biquadratique (mod P). 



» 4. Les nombres 2, 3, 5 ne sont résidus quadratiques (mod. P) que 

 s'ils divisent l'un des nombres a ou b, lorsque P — 1 est divisible par 4- 



