( 643 ) 



Or il est facile de montrer que, dans ces conditions, chaque série se ré- 

 duit à la moitié de son premier terme. 



» En effet, l'une quelconque des deux séries se compose généralement, 

 si l'on considère les termes dans l'ordre même où ils se suivent, d'un 

 nombre fini de séries partielles, dont chacune, où l'on pourra toujours, 

 pour fixer les idées, comprendre un nombre pair de termes, aura ses 

 termes de rang impair soit constamment décroissants de l'un à l'autre, 

 soit constamment croissants, et, dans les deux cas, eixnombre infini à la 

 limite, la différence des valeurs absolues de deux termes consécutifs de 

 chaque série partielle ne devant, en général, par raison de continuité, 

 varier, d'un intervalle à l'autre, que d'une fraction infiniment petite de sa 

 propre valeur. 



» Cela posé, appelons la somme de l'une des séries partielles, S, et ses 

 divers termes, en nombre pair, a, — b, c, — d, e, . . . , g, —h, i, —y, 

 après avoir toutefois détaché de la tète et de la queue de la série, quand, 

 la valeur absolue des termes y devenant maxima ou minima, la différence 

 de deux; d'entre eux consécutifs y tend vers zéro, assez de couples de 

 termes (en nombre aussi grand qu'on voudra, mais five pu indépen- 

 dant de t) pour ne laisser subsister que ceux dont les valeurs absolues ont 

 déjà, de l'un à l'autre, une différence ne changeant successivement que 

 très peu par rapport à elle-même. Alors les différences consécutives de ces 

 valeurs absolues, entre a et i, seront (au facteur commun près ± i), 



a — b, b — c, . . ., h — i; et des rapports, valant sensiblement i , ^ — , 



11 b — c 



c — d g — h , , , . . 



d_ e ' • ' • > j, _ s » a dénominateurs tous de même signe, on déduira, par 



leur addition terme à terme, d'après un théorème connu d'Arithmétique, 

 le nouveau rapport, extrêmement peu différent lui-même de i , 



a — b -t- c .— d+ . . . -+- g — h S — i -f- / 



7 — — 7 — — —, • OU r,- — -.• 



à — c -v-d — e-h. . ,-\- h — i a — -b —j 



» Il vient donc, à la limite, l'égalité 



S - i+y = a — S —j ou S = a - S - /, 

 qui donne 



» Ainsi Ici série se réduit à la demi-somme algébrique de ses deux termes 

 extrêmes. Et il en est d'ailleurs de même quand on lui restitue les couples 

 de termes, en nombre relativement insignifiant, qu'on avait supprimés à 



