( 644 ) 



la tête et à la queue, termes à somme algébrique négligeable, sensible- 

 ment identiques, pour la valeur absolue, le premier, à a et, le dernier, à/. 

 » Appliquons maintenant cette règle simple à la sommation de toutes 

 les séries partielles dont se compose une même des deux séries consi- 

 dérées; et, en observant que le dernier terme d'une série partielle égale le 

 premier de la série suivante changé de signe, il ne restera, dans chaque 

 somme définitive, que la moitié, F(\r, y) ou — F(x,y), du premier 

 terme (10), plus la moitié d'un dernier terme, égal par hypothèse à zéro. 

 Et si, d'ailleurs, à la seconde série, on ajoute le terme jusqu'ici né- 

 gligé (9), on aura 



, <p= V(x,y), <?, = o; 

 (11) (pour^o)î d ' o{, ' d ' ;, P rès ( 3 )' 



^ = °' ~tt =-^F(^.v). 



» 4. La solution particulières, en y prenant F(ç,r,) — /(£, ■*).), exprime 

 donc, comme Fourier l'avait trouvé, le mouvement amené par des dé- 

 placements initiaux 9 =f(JL, -q), sans adjonction de vitesses initia/es. Quant 

 à l'autre solution particulière o,, elle exprimera de même le mouvement 



dû à des vitesses initiales ~ =f l ^.,r l ), sans déplacements initiaux, si l'on 



y détermine F par la condition A 2 F(x,y) = - f t (x, y). Or il suffira pour 

 cela d'égaler F(.r, y) au potentiel logarithmique /(logr) dm d'une couche 

 fictive f dm étalée sur le plan des xy, et dont la densité superficielle, ex- 

 primée par — —f\ (£> r i ) en chaque point (E, r, ) de la région fda d'ébranle- 

 ment, serait nulle partout ailleurs. En effet, le paramètre différentiel A., du 

 potentiel /(log?) dm, considéré dans le plan, égale, comme on sait, le pro- 

 duit par 2îi de la densité superficielle de la couche potentialité. Cette 

 valeur de F (x, y) tendra bien vers zéro pour x ou y infinis, comme nous 

 avons dû l'admettre afin de vérifier la condition o, — o à là limite t = o; 

 car l'annulation de l'intégrale //, (£, r,)di entraînera celle de la masse fic- 

 tive totale j dm et fera disparaître du potentiel f(\ogr)dm, aux grandes 

 distances x de l'origine, le ternie principal (J'dm)logt, pour n'y laisser 

 subsister qu'une quantité comparable, tout au plus, à l'inverse de -c. 



» On pourrait, au prix d'une intégration, par rapport au temps, entre- 

 les limites zéro et t dont la seconde est variable, éliminer ce potentiel lo- 

 garithmique, c'est-à-dire éviter les deux intégrations qu'il implique, dan - . 



