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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la réduction biorlhogonalc d'une forme 

 li néo-linéaire à sa j orme canonique. 'Sole de M. Sylvester. 



« Soit F une fonction linéo-linéaire des deux séries de lettres 



x K , x.,, . .., x n ; c,, ç.,, ..., ç„ ; 



alors F contiendra rr termes. En assujettissant les x et les £ respective- 

 ment à deux substitutions orthogonales indépendantes, on introduit dans 

 la transformée n 2 — n quantités arbitraires, de sorte que, en leur donnant 

 des valeurs convenables, on doit pouvoir faire disparaître ce nombre de 

 termes en ne conservant que les n paires dont les arguments seront (par 

 exemple) 



y y *• 



» On peut nommer les multiples de ces arguments les multiplicateurs 

 canoniques; je vais donner la règle pour les déterminer, et en même temps 

 pour trouver les deux substitutions orthogonales simultanées qui amènent 

 la forme canonique. La marche à suivre sera parfaitement analogue à 

 celle qui s'applique à la réduction d'une forme quadrique à n lettres à sa 

 forme canonique au moyen d'une seule substitution orthogonale; mais 

 on remarquera, a priori, une distinction essentielle entre les deux ques- 

 tions. Pour le cas d'une seule quadrique, les multiplicateurs canoniques 

 sont absolument déterminés; mais, pour le cas actuel, il est évident que 

 chacun de ces multiplicateurs peut changer son signe, de sorte que ce sont 

 les carrés de ces multiplicateurs qui doivent se présenter dans le résultat. 



» Il sera utile de rappeler quelques faits élémentaires sur les matrices. 

 Le carré d'une matrice est la matrice qui se produit par la multiplication 

 des lignes par les colonnes; il sera une matrice non symétrique dont les 

 racines latentes seront les carrés des racines latentes d'une matrice donnée. 

 Au contraire, le produit d'une matrice par son transverse donnera (selon 

 l'ordre de la multiplication) lieu à deux matrices symétriques qu'on ob- 

 tient par la multiplication des lignes par des lignes ou bien par celle des 

 colonnes par les colonnes; ces matrices seront distinctes, mais posséde- 

 ront les mêmes racines latentes, c'est-à-dire en affectant tous les termes 

 dans la diagonale de symétrie de l'un ou de l'autre avec la même addition, 



