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soit — 'X, le déterminant d'une matrice ainsi affectée sera le même pour 

 l'un comme pour l'antre ('). 



» En différentiant F par rapport aux x et aux ;, on obtient deux matrices, 

 dont l'une sera la transverse de l'autre, que je nommerai les matrices déter- 

 minatives. Avec l'aide de ces matrices on obtient une solution complète 

 du problème voulu. 



» i° Pour déterminer les multiplicateurs canoniques : 



» Je dis que les racines latentes de leur produit seront les carrés des 

 multiplicateurs canoniques. 



» Il peut arriver qu'un de ces multiplicateurs soit zéro; alors le dernier 

 terme de l'équation aux racines latentes, qui n'est autre chose que le carré 

 du déterminant d'une matrice détermi native, s'évanouit; et l'on voit que le 

 cas de la disparition d'un des n termes dans la réduite canonique est indi- 

 qué par l'évanouissement du déterminant de la matrice détermi native. 



» 2° Pour trouver les deux substitutions orthogonales canoniques : 



« Prenons une des deux matrices symétriques affectées de — X dans 

 chaque terme de sa diagonale; en supprimant une quelconque de seslignes, 

 les n premiers mineurs de la matrice diminuée qui restent divisés chacun 

 par la racine carrée de la somme de leurs carrés (fonctions de X), en don- 

 nant à X successivement les valeurs des n racines latentes, fourniront les 

 n 2 termes d'une des substitutions orthogonales, et de même on obtient 

 l'autre substitution orthogonale en agissant semblablement pas à pas sur 

 l'autre matrice affectée : ainsi le problème de la réduction voulue est com- 

 plètement résolu. 



» Prenons, par exemple, 



F = 8xc — xn — l\y'i -H 'JJ-r,- 



(') Toutes ces racines latentes seront non seulement réelles (comme elles doivent 

 l'être à cause de la forme symétrique de la matrice), mais aussi positives; car, en sub- 

 stituant X à — X, les coefficients de l'équation latente (en commençant avec le der- 

 nier) sont, respectivement, le carré du déterminant complet, la somme des carrés des 

 premiers mineurs, des seconds mineurs, etc., de la matrice déterminalive (le premier 

 coefficient étant l'unité et le second la somme des carrés des coefficients de la forme 

 bilinéaire). Chacune de ces sommes sera un invariant biorthogonal, et le déterminant 

 tle la matrice déterminantive lui-même sera un invariant gauche de la forme bilinéaire. 



Ajoutons que les deux matrices qui sont les carrés cauchiens de cette matrice, envi- 

 sagées comme discriminants, fourniront deux quadriques (dont chacune contiendra un 

 seul des deux systèmes donnés de lettres) qui seront des covariants orthogonaux simul- 

 tanés de la fonction bilinéaire donnée. 



