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cas particulier, me proposant seulement alors d'appeler l'attention sur un 

 type de séries qui n'a pas été étudié jusqu'ici; dans la dernière séance, 

 M. Appell a fait à ce sujet, quelques remarques générales. Je voudrais, en 

 quelques lignes, indiquer maintenant la pensée qui m'avait guidé dans 

 cette recherche. 



» Les fonctions précédentes ne sont en réalité pas nouvelles; elles ren- 

 trent dans la classe de ces fonctions que j'ai désignées sous le nom de fonc- 

 tions hyperabéliennes (Journal de Mathématiques, 1 885), et c'est en étudiant 

 un cas particulier que je suis arrivé aux séries qui nous occupent. Les 

 fonctions hyperabéliennes sont des fonctions de deux variables indépen- 

 dantes u et c, restant invariables par des substitutions de la forme 



a a -+- b a' c -f- b' s 

 eu -+■ d c'e 



0- 



» Or prenons le cas très simple où les substitutions fondamentales du 

 groupe sont au nombre de deux, et se réduisent à 



(m, v, au, /«•), (u, v, au, b'v), 



a, b, a' et b' étant des nombres positifs d'ailleurs quelconques. On pourra 

 former dans ce cas particulier les séries étudiées dans la théorie générale 

 (Mémoire cité); une particularité même se présente : un certain nombre 

 entier, figurant dans ces séries et qui en général doit être supérieur à un, 

 peut ici lui être égal. C'est ainsi qu'on obtient, comme série fondamentale 

 dans la théorie, l'expression 



2 2 



m =— * n = - 



a'" b" a"" b'" 



(iia'"/>" -i M- ( va' m b' n -V if 



Elle est définie pour toute valeur de u et e, à l'exception des valeurs de 

 u et v correspondant à des points situés sur la partie négative de l'axe des 

 quantités complexes. Cette série se ramène immédiatement à celle que j'ai 

 donnée dans ma première Note en posant u ■— i.e x , v = ie y '. Les autres séries 

 se déduiront de celle-là par des procédés analogues à ceux qui sont em- 

 ployés par M. Poincaré dans la théorie des fonctions fuchsiennes et zêla- 

 fuchsiennes. Ces dernières conduisent notamment aux fonctions de seconde 

 espèce sous leur forme la plus générale. Il est d'ailleurs évident que, ces 

 diverses séries une fois obtenues, on peut les étudier directement sans 

 recourir ans considérations par lesquelles nous y sommes parvenu. » 



