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» Soit maintenant le cas d'un nombre quelconque de pôles : en multi- 

 pliant la série par un polynôme 



on lui donnera un rayon do convergence supérieur à son rayon de conver- 

 gence actuel p. Comme les nouveaux coefficients sont donnés par la formule 



( ">} <7 — Cl . -I- y ' i ' . -4- -t- K." ,_ ' CI 



la propriété en question s'exprimera par l'inégalité 



V a,„ r ,,- , -r *< ' ' a m+p . 2 -+- . . . 4- y.'' " a,„ < C ;—— ^ . 



où p, est le nouveau rayon de convergence, et e un nombre positif aussi 

 petit qu'on veut, pour m suffisamment grand. 



• » Considérons alors le déterminant symétrique 



\(lin "ml ■■• V/B+/>— I 



-^m.V 



''m i /> l 



««H-p-a "„ 



a nH P I O-m •,, t (l m,p-\ 



» D'après la seconde expression de ce déterminant, on voit que "sj\ A mp | 

 a une limite supérieure au plus égale à ---, • 



» Réciproquement, supposons que, pour une certaine valeur de p, la 



limite supérieure de y| A,„ ,,, j (/» = ») soit moindre que — • Nous pouvons 



P 



admettre que cette valeur est la première pour laquelle il en soit ainsi, et 

 que, par conséquent, v'| A, ni/ ,_,| a pour limite supérieure 7^7- 

 » Un théorème bien connu sur les déterminants nous donne 



( ' ) *m-¥\','p—\ "(«-(,/>- I "*"" 111, p 1 r ~ m < <p-^m,p--2 



et nous montre que y[ A, n+Ii p_, A,„_ (iP _, — A;;, p l l | a une limite supérieure 

 moindre que celle de \/\à^ np _ l |. Ceci suffit pour établir, à l'aide d'un calcul 

 que je supprime, que la limite supérieure assignée tout à l'heure à "( | A,„ _ , | 

 est une véritable limite, au sens ordinaire du mot, que y | A,„ jD _ 1 |s'enap- 

 proche indéfiniment pour toutes les valeurs de m suffisamment grandes. 



» Ceci posé, déterminons les quantités «.„', atjjl'î . . ., &%'') par les équa- 

 tions 



(4) * , „Vfl,«- + i^-a + -.-4-a;/'-' >a mhi -ha m ^_ l+i =o (i=o, 1, 2, . ..,/> — 2), 



