( 7=4 ) 



et posons 



i* = x'" — «!*» 



/« m+\ ni ' 



de sorte que les t'J pourront être considérés comme donnés par les équa- 

 tions 



£;;>,„ +/ ,_, -+■ . . . + t\f; ' «,„_, + = o, 



Des équations ( l\ ) et (5) on tire 



1 /7 _i_ e '/'- ,1 tl _i_ a -t-7"V/ „ -4-y"'-"a — O 



■ • ^ 'm "m+p-\ I u m+2p 2 ^ *b! "m h 2/i-3 ^ x ,„ "m+p-i — "• 





ê '' = 



^m+i.p-s désignant un déterminant d'ordre /? — 2. 



» On voit alors que vl £ ml a une limite supérieure moindre que l'unité, 

 La série Ie* est donc convergente, et oc'*' a une limite a (/!) . La théorie élé- 

 mentaire des séries permet même d'ajouter que la différence a (A) — a.^' est 



moindre que [- — h- s J (s infiniment petit). En substituant dans l'éga- 



1 1 te (2), on voit que y| a m | a une limite supérieure au plus égale a -■• 



1-1 



» L'égalité est seule admissible, à cause du raisonnement inverse donné 

 plus haut. De plus, d'après nos hypothèses, la valeur choisie de /; est la 

 première qui satisfasse aux conditions précédentes. On en conclut que la 

 fonction admet sur le cercle de convergence p — 1 pôles (chaque pôle étant 

 compté avec son degré de multiplicité). 



» Si l'on considère les valeurs de p supérieures à celle que nous venons 

 d'étudier, on établit encore les propositions suivantes : 



» Soit g p la limite supérieure de \'| A„ ljP [ pour m infini. Le rapport 



-^- ne va jamais en diminuant. Si, pour une certaine valeur de p, ce rap- 



port prend une valeur p, supérieure à celle qui la précède, la fonction n'a 

 que des pôles au nombre de p à l'intérieur du cercle de rayon p,. D'après 

 cela, la condition pour que la fonction n'admette dans tout le plan d'autres 



singularités que des pôles est que ^^ tende vers o. 



» Si l'on applique la formule (1) à l'inverse d'un polynôme entier, on a 

 la règle de P>ernoulli pour le calcul de sa plus petite racine. Nous pouvons 

 compléter celle règle : la racine située sur le cercle p,, si elle est seule de 



11 1 1- -, 1 "/«— l,p-M . ~^m -l.p 



son module, sera la limite de 



