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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les termes complémentaires de la formule 

 sommatoire d'Euler et de celle de Sliriing. Note de M. IV. Sonun, présentée 

 par M. Hermite. 



« Dans la formule d'Euler ( b - a mh i, 

 h V/< a + kh ) 



, 



^f b /(u)du-^h[/(b)-/(a)] h ?£[/(*) _/(.«)] +-... 



+ (-M' , ;;- / '; ( ' i ;|./- s (6) -/—'(»] ■--««. 



le reste R„ peut être représenté par l'intégrale 



i 



où l'on a admis 



m — 1 



S,,,(^=V |./-"< "t- M +/<) - /"-"(a t-/-// -f- // -/*n|, 



A 



et <p 2 n(0 désigne le polynôme de Bernoulli qui conserve le signe de ( - i )" 

 et croit numériquement en même temps (pie / croît de o jusqu'à i. 



» Supposons que S 2 „(*) conserve le signe x= ± et décroisse numéri- 

 quement lorsque t croît de o à '. Dans l'expression 



i 



- M - 0"R„ = ~^r f «S s .,(0-(- ')"?«(0 *. 



nous aurons sous l'intégrale le produit d'une fonction positive décroissante 

 7.S 2n (t) par la fonction positive croissante (— i)"ç 2/J (£); par conséquent, 

 l'intégrale dont il s'agit aura une valeur qui sera évidemment plus grande 

 que celle de l'intégrale 



f«^«G) •(-.!)" ?«(.«)*. 



