( io38 ) 

 » Alors on peut représenter 



Par H la succession X 2 , X s , . . . , X,- 



Par t' » Xj, À 2 , X 3 , . . . , X,-_j 



Par Y » X,, X 3 , . . . , X,_! 



» De plus, on peut représenter par &t la réunion du type suivi par le 

 type t; par Qot ce que devient 0/ quand on intercale un zéro entre la suc- 

 cession et la succession t; par &(ot)' la succession suivie par la succes- 

 sion oZ répétée i fois ; et par z(o9)'t ce que devient tx quand on intercale 

 o9 i fois entre le / et le t. 



» T étant un type quelconque, on peut désigner par [T] le cumulant 

 dont T est le type. 



» Ainsi, si les éléments enT sont regardés comme les quotients partiels 

 d'une fraction continue, et que, suivant la notation de l'immortel Lejeune- 

 Dirichlet, on représente par (T) la dernière convergente à cette fraction, 

 on aura 



(T) = [TMT|. 



» Désignons par 9 ce que devient f) quand on renverse l'ordre, et par 9 

 ce qu'il devient quand on change le signe de chacun de ses éléments. Po- 

 sons 



T, = (U(o/)'f); 



j'ai trouvé et démontré le lemme suivant (') : 



(' ) Pour établir cette proposition, on n'a besoin que de se servir des deiur identités 

 suivantes. Si T = ifl, 



[T] = miAl + [<'][ v eh 



SiT=<6T, 



[T] = [t] [6] |>] + [^H«6] [t] + [t] [6'] [V| + [t'] [H)<] [«,]. 

 On peut cependant ajouter que, de même, si T = td-M, 

 [T] = [/] [6] [x] [u,] -+- [f] [>6] [*] [»] + [I] [6'] V-.] [«] + [/] [6] [-J] [>] 



+■[*'] ['8'] l>j H + [«'] m [>'] M + M [»'] [V] [H + [*']r/e'][V] r>], 



où l'on remarquera que les trois premiers produits de la deuxième ligne sont composés 

 de deux (le premier et le dernier) de formes analogues, et d'un troisième d'une forme 

 différente, et ainsi, en général, si le nombre des types partiels /, f), t, . . . est i, on aura 

 2'~' produits de cumulants partiels et de leurs dérivés simples et doubles; car il v 

 aura (i — i) intervalles entre les /types sur lesquels on doit faire tomber dans chaque 



