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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la valeur d'une fraction continue finie 

 et purement périodique . Note de M. Sylvester. 



« On sait que la valeur de la fraction purement périodique infinie (*"), 

 où / est un type (c'est-à-dire une succession) d'éléments quelconques, est 

 la racine positive de l'équation 



(i) " tt] x >-([t)-[r])x-[t'\ = o. 



» Cela conduit naturellement à la question de trouver la valeur de la 

 fraction continue analogue périodique mais finie (t"). 



« Avec l'aide de notre formule donnée dans une Note précédente, qui 

 sert à exprimer un cumulant à un type composé de i tvpes partiels comme 

 une somme de 2' ~' produits des i cumulants partiels et leurs dérivées 

 simples et doubles, on peut résoudre cette question sans aucune diffi- 

 culté. 



» On a 



(,n\- [£U - 1'"] 

 [***] ~ [V/"-'| 



Soient 



[t"] = u n , |7/" , j = Vr ;/ , 



on trouve que v„ sera une fonction entière et l'on établit, au moyen de la 

 formule citée, entre u„ et v n les équations aux différences 



ou 



Donc 



u„ — ««„_, — Bu n -, = cBv n _ 2 , r„_, — cv n _ 2 = «„_j, 



« = [/], B = [7][r], c = ['•], 



Bc„_, = «„ — ««„_,, 

 a«>„ -+- (B — ac)c, 1 _, = « n = v n+{ — cv n , 



(•„_,- (fl + r)c, 1 +(-) H v l = o 



[car B — nr = ( — ) |X_I , <j. étant le nombre d'éléments en /]. 



» Conséquemment. par un principe bien connu, v n et u n seront les coef- 



