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» Mais on sait que l'ensemble E des poinls sin^fuliers de F (g) n'est pas 

 nécessairement énumérable. Cet ensemble jieut comprench-e des aires 

 (espaces lacunaires), des lignes, on enfin des ensembles parfaits, non con- 

 linns. de points. Par exemple, les fonctions fuchsiennes de la troisième 

 famille sont des fonctions uniformes, définies dans tout le plan, sans lignes 

 singulières, admettant des points singuliers dont aucun n'est isolé; l'en- 

 semble de ces points singuliers est un ensemble parfait discontinu. Il 

 n'existe jusqu'ici, à ma connaissance, aucun mode généi'al de représen- 

 tation de telles fonctions. Cl'est ce cpii donne ])eut-être quelque intérêt au 

 théorème suivant : 



» ÏHÉoRicME A. — Toute fonction ¥ (^z-J, uni/orme dans un do/nai/ie na- 

 turel d'existence, est représentable par une se/ ie de fractions rationnelles 



(i) F(-^)=2R,,(=). • 



la série convergeant absolument et uniformément dans toute portion du plan 

 où F(=) est ho'omorphe. 



)> Il n'est nullement indispensable, poin- que le théorème subsiste, de 

 se limiter an domaine nfl/;</-e/ de la même fonction analytitjue. Soit, plus 

 généralement, V(x,j) -h iQ(x, y) ime quantité qui, pour tout point 

 z =^ X + iy (sauf pour des points dits exceptionnels), a une valeur unique, 

 dcfiniss;:iit une fonction analytique de z holoniorphe, pour la valeur con- 

 sidérée. Soient D l'ensemble des points où F(^) ~= P + t'Q est holomorphe, 

 E l'ensemble des [jomls exceptionnels ou singuliers ; E peut comprendre 

 des aires, des lignes, des ensembles parfaits, des points isolés. En j)arti- 

 culier, si D se décompose en aires distinctes, F (2) peut définir, dans ces 

 diverses aires, des fonctions analytiques tlifférentes. Je donnerai, avec 

 M. Miltag-Leffler, à F^P+j'Q le nom A' expression analytique (') uni- 

 tonne. 



» (jeci posé, on peut énoncer ce théorème : 



» Toute expression analytique uniforme F(ô) est représentable par une série 

 de fractions rationnelles 



(i) Y{z) = y.\\,,{z), 



(') 0))servons que l'expression F (2) u'esl pas nécessairement définie partout à l'aide 

 du même symbole, mais peut être définie par des symboles ou des conventions entière- 

 ment quelconques, variant quand on passe d'une certaine région du plan à une autre. 



