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la série convergeant absolument e.l uniformément dans toute aire du plan où 

 ¥{z) est holomorphe. 



» I.e développement (i) est possible d'une infinité de façons. Ses coeffi- 

 cients s'obtiennent à l'aide d'intégrales définies, comme ceux d'une série 

 de Tiaurent. 



» Les pôles des R„(:;) font partie des points singuliers de F(::). On 

 peut toujours faire en sorte : i° que ces pôles soient tous simples, sauf ceux 

 qui coïncident avec des points singuliers isolés de F; 2° que chaque pôle 

 de F ne figure que dans un terme R,,. En particulier, si l'ensemble E est 

 parfait, les R„ n'auront que des pôles simples. 



» Si l'ensemble E renferme des espaces lacunaires, on ]:>eut conduire ad 

 libitum le développement (i), de façon qu'il diverge dans ces espaces la- 

 cunaires ou qu'il représente dans chacun de ces espaces une fonction uni- 

 forme arbitrairement choisie. 



» Au théorème A on peut adjoindre un théorème sur la décomposition 

 en produit : 



» Théorème B. — Toute expression analytique uniforme F(r-') est reprè- 

 sentable par un produit infini 



(2) F(.)=n 



^n{z) I!„(s) . 



les L„ , M„ sont des polynômes en z dont les zéros sont des zéros, des pôles ou dis 

 points singuliers de F, et les R„(^)» des fractions rationnelles dont les pôles sont 

 des singularités (non polaires) de F. De plus, chaque zéro et chaque pôle de F 

 ne figurent que dans un terme du produit . 



» On peut, d'ailleurs, donner aux développements (i) et (li) des formes 

 différentes qui se rapprochent davantage de celles de M. Mittag-Leffler. 

 Pour nous borner au cas le plus simple, représentons par j(^(m) une série 

 entière en u convergeant dans tout le plan et nulle pour u = o, par a, un 

 des points singuliers isolésà& F. La fonction F(::) se laisse développer sous 

 la forme 



11=0 



la série convergeant dans tout le domaine ]), et les fractions rationnelles 

 R„(s) n'ayant pour pôles que des points singuliers non isolés de F. Le dé- 

 veloppement en produit comporte une lorme analogue. » 



