( 2o3 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la corn>ergence des séries représentant les 

 intégrales des équations différentielles. Note de M. Paul Staeckel, pré- 

 sentée par M. E. Picard. 



« Dans son Traité d' Analyse (t. II, p. 3o4, et t. III, p. 90), M. Picard a 

 fait une intéressante comparaison des résultats fournis par les deux théo- 

 rèmes suivants de Cauchy, relatifs à l'existence des intégrales des équa- 

 tions différentielles : 



» I. Soit /(x, y) une fonction réelle des deux variables réelles x et y, con- 

 tinue dans le voisinage d^ un certain système de valeurs a;„, j„, correspondant à 



(i) \x — x^\<^a, |7-Jo|<^. 



Soit A une quantité positive satisfaisant aux inégalités 



k<a, kM<b, 



en appelant M la valeur absolue maxima def(^x,y),pour les points du do- 

 maine (i). Alors il existe une fonction continue y de x satisfaisant à l'équa- 

 tion différentielle 



i =/(-./)■ 



définie pour toute valeur de x telle que \x — x^\<:^k et prenant pour x =^ x^ 

 la valeur y^ . 



» 11. Soitf(x,y) une fonction analytique de x et y, holomorphe quand x 

 et y sont respectivement à l'intérieur et sur la circonférence des cercles décrits 

 des points .r^ et y^ comme centres avec les rayons a et b. Soit M. le module 

 maximum de la fonction f {^x , y^ dans ce domaine. Alors l'équation 



admet une intégrale holomorphe dans le cercle de rayon 



p = ail - 



h 

 " 2 M o 



ayant le point a?o pour centre, intégrale qui, pour x ^ x^, se réduit ày„. 



» La fonction f{x, y) étant holomorphe, on peut encore appliquer la 

 première méthode de Cauchy, et c'est en s'appuyant sur celte remarque 



