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que M. Picartl rlémonlre que Von peut certainement fixer, pour le domaine 

 de convergence de V intégrale y, un champ plus grand que celui auquel on a été 

 conduit par le théorème II. 



» La proposition de M. Picard est au premier abord para<ioxale, car 

 une hypothèse particulière sur hi nature de la fonction f{x, y) aui'ait dû 

 élargir, au lieu de resserrer le domaine où est définie la solution y. Voici 

 ce qui me paraît lever cette difficulté. 



» La démonstration du théorème II repose essentiellement sur les 



inégalités connues 



(A) 



p\q\ 



à"f \ I 



y[a-''h-i. 



» Or je dis que ces inégalités peuvent être remplacées par d'autres 

 tout à fait analogues, qui en laissant subsister la démonstration mot pour 

 mot ont l'effet de produire un rayon de convergence p' sensiblement plus 

 grand que p. 



» Le seul fait de la convergence de la série de Taylor 





{x-x,)p (y-7o)? 

 p\ q\ ' 



pour \x — Xf,\-= a, \y —yt,\ — b, entraîne la conséquence qu'il existe une 

 quantité finie positive G telle que 



■/ à".f \ 



i \ ou'' dp 



p\ q\ - 



{p,q^o, I. . .,co;, 



où l'on doit prendre le signe de l'égalité au moins poin- un système des 

 nombres p, q. En effet, étant une quantité positive aussi petite qu'on 

 voudra, on pourra déterminer des nombres /j„, q^ tels que 





aP bi ^ A 



^! f/! 



(p=/>o. ^ = ^0). 



et alors G est la plus grande des {p^ H- i -(y» + i) + i quantités S et 



\dxi' ôyi J.J 



aP b'i 



W = 0, I qj 



» Donc, on a 



(B) 



•lql\\()x''dy''L^,y, 



Gn-i'b-'', 



