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 positifs, nuls ou négatifs, que nous nommerons respectivement cale pre- 

 mière, cote seconde, ..., cote p'^"'^ de cette quantité, et supposons essentielle- 

 ment que les cotes premières de toutes les variables indépendantes aient été 

 choisies égales à un même entier positif. Considérons ensuite une dé- 

 rivée quelconque de l'une des fonctions inconnues, et nommons cote 

 g'^""{q = 1 , 2, ...,/>) de la dérivée en question l'entier obtenu en ajoutant 

 à la cote ^'''™^ de la fonction inconnue les cotes ^''J'™" de toutes les variables 

 de différentiation, distinctes ou non. Désignons, enfin, par S, S' deux 

 quantités appartenant l'une et l'autre au groupe que forment les fonc- 

 tions inconnues et leurs dérivées de tous ordres, par 



C| , Oo , • • • , p^ 



^, ) c.,, • • • 1 c^, 



les cotes respectives de ces quanti'tés, et convenons de dire que la seconde, 

 S', est 7-égulière ou irrégulière par rapport à la première, S, suivant que les 

 différences 



c ^ ^ C j , C^ ^._> , • - • 5 Cp c 



satisfont ou non à la double condition : i" que ces différences ne soient 

 pas toutes nulles; 2° que la première d'entre elles non égale à zéro soit 

 positive. 



» Supposons, d'autre part, que les circonstances suivantes se trouvent 

 simultanément réalisées dans le système S : i" Ce système, impliquant 

 g fonctions inconnues et composé de g équations, est résolu par rapport à 

 g dérivées appartenant respectivement aux g fonctions inconnues, et ces 

 g dérivées, non plus que leurs propres dérivées, ne figurent dans aucun 

 des seconds membres; 2° toute fonction inconnue, ou dérivée de fonction 

 inconnue figurant effectivement dans le second membre d'une équation du 

 svstème, possède une cote première au plus égale à celle du premier 

 membre correspondant. 



» Finalement, dressons, pour chaque équation du système S, la liste des 

 diverses quantités (fonctions inconnues ou dérivées de fonctions in- 

 connues) qui, figurant effectivement dans le second membre, se trouvent 

 être irrégulières vis-à-vis du premier; égalons à zéro les dérivées premières 

 de chaque second membre, prises par rapport aux quantités irrégulières 

 correspondantes, et désignons par (A) le groupe des équations ainsi 

 obtenues. 



» Cela étant : 



» I. Si le groupe des équations (A) n'existe pas, ou, en d'autres termes, 



