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variable. On reconnaît d'abord, par le théorème de Dupin, que les trois 

 rotations p, q^, r., sont nulles. Les six autres sont les quantités désignées 

 par p dans les notations de M. Darboux ('). Si l'on veut que la position du 

 trièdre ne dépende que de deux paramètres au lieu de trois, on reconnaîtra , 

 par des considérations analogues à celles que j'ai expliquées dans une Note 

 du aS novembre 1895, que la condition est que le déterminant des neuf 

 rotations soit nul, condition qui se réduit ici à 



(0 p,q2r-^p2qr,-^o. 



» Si l'une des rotations est nulle, on trouve des surfaces parallèles avec 

 leurs normalies développables, ou les surfaces engendrées par un réseau 

 rectangulaire plan, lorsque le plan roule sur une développable (surfaces 

 moulures généralisées). 



» Si aucune des rotations n'est nulle, l'analyse de la question, faite au 

 moyen des équations bien connues qui relient les rotations, conduit à ce 

 que les six rotations sont des fonctions des différences u — i', u — w des 

 variables u, c, w. De là résulte que toutes les surfaces obtenues en donnant 

 à w, par exemple, diverses valeurs particulières, ont toutes la même repré- 

 sentation sphérique de leurs lignes de courbure, et le théorème : 



» Dans un système de surfaces triplement orthogonales, si les surfaces 

 d'une même famille ont la m,ême représentation sphérique de leurs lignes de 

 courbure, il en sera de même de celles des deux autres familles. 



» Si je désigne par p„, p[,, ..., les rayons des courbures des sections 

 normales faites dans les surfaces langentiellement aux courbes obtenues 

 en faisant varier u, v ou (v seule, on aura : 



» On remarquera, du reste, que les centres de courbure correspondant 

 à ces rayons sont aussi les centres de courbure géodésique des lignes cor- 

 respondantes considérées comme tracées respectivement sur la surface 

 dont le plan tangent contient à la fois la tangente à la courbe correspon- 

 dante et le rayon de courbure correspondant. 



(' ) Darboux, Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes, 

 p. 188. 



