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» L'équation (i) exprime alors une relation remarquable entre les six 

 rayons de courbure, savoir : 



)) Sur les arêtes du trièdre des trois normales au point M se trouvent 

 répartis les six centres de courbure principaux que nous désignerons 

 par Xp, X„,; X',„ X^; X^^, X'^, les indices et les accents correspondant à ceux 

 des valeurs de p. 



» La droite X^,X", située dans le plan tangent à la surface u = const. est 

 l'axe de courbure de la courbe obtenue en faisant varier u seule, c'est- 

 à-dire l'axe de courbure de la trajectoire orthogonale des surfaces /< = const. 



» La droite X^^X^, située dans le même plan tangent est celle qui joint 

 les centres de courbure géodésique des deux lignes de courbure de la sur- 

 face M = const. 



» Supposons qu'on laisse X° et X,^, fixes, et qu'on déplace les points X'„ 

 et X^ de manière que le produit MX|,.MX|; reste invariable; menons du 

 point X'^ une perpendiculaire à X|,X", jusqu'à sa rencontre Y avec la droite 

 X^^X^. On reconnaîtra que le point Y, intersection des rayons conjugués 

 de deux faisceaux homographiques, décrit une conique qui passe par M et 

 dont X",X|^, est un diamètre. Donc les directions des droites X|',Yet X^Y 

 sont conjuguées. Les axes de cette conique sont parallèles aux deux droites 

 rectangulaires MX",, MX'„,, et on aura leur rapport en écrivant que le produit 

 des coefficients angulaires des deux droites conjuguées X-^;XJ, et X",Y est 



égal a :;• 



» On trouve ainsi, en tenant compte de l'équation (2), que cette conique 

 est l'indicatrice de la surface, d'où ce théorème : 



» Dans tout système de surfaces triplement orthogonales où les surfaces 

 d' une même famille admettent la même représentation sphérique des lignes de 

 courbure, l'axe de courbure de la trajectoire orthogonale des surfaces de l'une 

 des familles correspondant au point M et la perpendiculaire à la droite qui 

 joint les centres de courbure géodésique des deux lignes de courbure de la sur- 

 face de cette famille qui passe au point M sont deux directions conjuguées par 

 rapport à cette surface. 



» On déduit de là inie démonstration fort simple du théorème établi par 

 M. Petot (^Comptes rendus, 22 juin 1891) au sujet des systèmes où l'une des 

 familles est composée de surfaces homothétiques, systèmes qui sont un cas 

 particulier des précédents. 



