( 2i3 ) 



» Soil, en effet, M un point de la surface (S), M' le point infiniment 

 voisin (le la trajectoire orthogonale (T), O le centre d'honiothétie et M" le 

 point (le (S) homologue de M'. Le plau tangent en M" est par hypothèse 

 parallèle au plan tangent en M' à la surface voij-ine de (S), c'est-cà-dire au 

 plan normal à la trajectoire orthogonale. Donc l'axe de courbure de (T) 

 est parallèle à l'intersection des deux plans tangents en M et M", et sa di- 

 rection est conjuguée de la ligne MM". Donc, d'après le théorème précé- 

 dent, MM" est perpendiculaire à la droite qui joint les centres de courbure 

 géodésii|ue des deux lignes de courbure de S. fJonc, enfin, le plan OMM' 

 cpii contient la normale est perpendiculaire à la droite (T), ce qui est le 

 théorème de M. Petot. 



» L'analyse précédente y ajoute cependant quol([ue chose. Si l'on appelle 

 projeclion d'une trajectoire orthogonale sur la surface (S) l'intersection de 

 cette surface avec le cône passant par la trajectoire orthogonale et ayant 

 son sommet au centre d'honiothétie, on reconnaît que : 



» La projeclion d'une trajectoire orthogonale des surfaces (S) sur l'une de 

 ces surfaces est, en chaque point, conjuguée par rapport à la surface (^S) de la 

 direction de l'axe de courbure de cette trajectoire correspondant cm point pro- 

 jeté, et elle est en chaque point perpendiculaire à la droite qui joint les centres 

 de courbure géodésique des deux lignes de courbure au point considéré. 



» Un théorème analogue s'ajiplique évidemment au cas où les surfaces 

 d'une même famille sontengendrées par la translation de l'une d'entreelles. 



» Je me propose de développer ces considérations dans un travail 

 détaillé, actuellement en préparation. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur le fondement de la Géométrie proj active. 

 Note de M. H -G. Zeuthen, présentée parM. Darboux. 



« Après mes Communications des 2 et 29 novembre 1897, j'ai achevé un 

 fondement de la Géométrie projeclive complet et différent de celui de von 

 Staudt. Cej)endant je n'y parviens qu'en empruntant à l'intuition un pos- 

 tulat qui a égard, de même que celui que demande l'achèvement de la 

 démonstration de von Staudt, à la continuité géométrique, mais qui en 

 diffère pourtant essentiellement. Tandis que celui de von Staudt fait la 

 base de l'introduction des mesures projectives, le mien a un caractère plus 

 graphique. 



)) Ce que je demande, c'est l'existence des surfaces gauches, et je regarde 



G. K., iScjS, i« Semestre. (T. C> \VI, N» 3.) 28 



