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comme évidente la propriété suivante de ces surfaces : la courbe d'inter- 

 section avec un plan y passant par une génératrice C non singulière se com- 

 pose de C et d'une courbe résidue rencontrant C en un point c qui se mou- 

 vra sur cette génératrice fixe en même temps que le plan y tourne autour 

 d'elle. La courbe résidue étant le lieu des traces des autres génératrices 

 de la surface, la tangente en c à cette courbe sera la position limite de la 

 droite du plan y qui rencontre à la fois C et deux autres génératrices ten- 

 dant à coïncider avec elle. Par un choix convenable de la surface gauche 

 on peut obtenir que cette tangente passe par un point donné du pliin y. 



)) Cela admis, pour parvenir à la génération double du lieu des droites 

 rencontrant trois directrices fixes, on n'aura besoin que des deux lemmes 

 suivants : 



» Dans l'énoncé du premier, je regarde comme correspondants les som- 

 mets d'un quadrigone complet et les triangles formés par les côtés d'un quadri- 

 latère complet, ce qui amène la correspondance analogue des triangles 

 formés par les sommets du quadrigone avec les côtés du quadrilatère. 

 Alors, le côté qui joint entre eux deux sommets du quadrigone sera homo- 

 logue au sommet commun aux deux triangles qui y correspondent dans le 

 quadrilatère. 



» I. Si cinq sommets d'un quadrilatère complet se trouvent sur les côtés 

 homologues d'un quadrigone complet, le sixième sommet du quadrilatère se 

 trouvera aussi sur le sixième côté du quadrigone. 



» On le voit en regardant le cjuadrigone comme projection d'un 

 tétraèdre; alors le quadrilatère sera la projection d'une secLion plane. 



» Dans ce qui suit, je désignerai par a, h, c trois sommets du quadri- 

 latère qui forment un triangle, par d, e, /les trois sommets opposés. 



» II. Si les cinq sommets a, h, c, d, e d'un quadrilatère complet se trouvent 

 respectivement sur cinq droites données A, B, C, D, E qui ne se rencontrent 

 pas, le lieu du sixième sommet / sera une droite F. 



« Si l'on projette (comme dans ma Communication du 2 novembre) la 

 figure du point d'intersection d'une droite rencontrant A, B, C avec une 

 droite rencontrant C, D, E, ce lemme sera une conséquence du précédent. 



» Prenons maintenant pour droites C, D, E trois génératrices consécu- 

 tives d'une surface gauche. Alors le plan y du quadrilatère passera par la 

 droite fixe C; ses sommets c, d, e se confondront en un point de cette 

 droite, et la droite de/ sera tangente à la courbe résidue du plan y. La 

 droite aZj/ rencontrera les trois droites données. A, B, C, et encore son 

 pointyparcourra une droite F. Or, on peut obtenir, par un choix couve- 



